Compacité et dénombrabilité

[legeniedesalpages]

Bonjour,

cet exo me pose problème:

Soit un espace métrique compact. Montrer qu'il existe un sous-ensemble au plus dénombrable dense dans .

Merci pour votre aide

[ThSQ]

Je dirais :

tu recouvres avec U B(x,1) et tu prends un sous-recouvrement fini de centres x_1_1, .., x_1_n1

tu recouvres avec U B(x,1/2) et tu prends un sous-recouvrement fini de centre x_1_2, ..., x_1_n2

...

tu recouvres avec U B(x,1/p) et tu prends un sous-recouvrement fini de centre x_1_p, ..., x_1_np


Les (x_i_j) sont dénombrables et { x_i_j } est dense

[legeniedesalpages]

ok je vois le principe, merci ThSQ.

[ThSQ]

ok je vois le principe, merci ThSQ.

Cool :we:


D'ailleurs à la réflexion précompact suffit à notre bonheur ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_pr%C3%A9compact


Complément : un exemple de compact (non métrisable donc) non séparable :hein: :id: ??