Z = f(x,y), comment trouver f ?

[DrDam]

Bonjour à tous, je tient à m'excuser pour mon niveau en math ... mais la prépa (bio) est loin maintenant ... et je fait des maths par plaisir ( oui ça existe) mais là .. je sèche ...

[FONT=Arial Black] Présentation du problème[/FONT]

voilà je dispose d'une matrice

Code: Tout sélectionner

x       y        z
1   0   22
2   25   41
3   84   129
4   106   153
1   0   26
1   0   28
1   0   25
1   0   23
2   47   42
3   85   104
4   106   162
1   0   23
[....]


je sais que la relation est du type :


donc prenant mon courage à deux mains (et les reste de prépa), je suis partie à essayer de trouver a,b,c,d,e,f ...

[FONT=Arial Black] Transformation du prblème[/FONT]

j'ai posé :
pour x constant,
et pour y constant ,

et là je me suis dit, facile je trace Z_x=f(Y) , je fait une régression polynomiale et j'ai A,B et f ( et R²)
idem pour Z_y=f(X) pour C,D et d ( et R²)

donc j'ai déjà d et f .. il ne me reste plus que 4 param à trouver.

[FONT=Arial Black]Si c'est déjà foutu, dite le moi ... [/FONT]

[FONT=Arial Black] à la recherche des autres param[/FONT]

et là je seche.

je sais que j'ai :




avec A,B,C,D constantes et d,f connu ...
donc 4 équation 4 inconnue c'est faisable ...

mais je ne sais pas (plus) si j'ai le droit de résoudre les équation ,posé pour la variable constante, comme je le ferai normalement ?

et si je ne suis pas dans la bonne voie, surtout dite le moi ...
(ps: je suis sous excel .....)

[kazeriahm]

bah pourquoi tu fais pas de la régression direct ? tu cherche a minimiser la somme pour toutes tes données de |z-f(x,y)|^2, ou les paramètres a trouver sont dans f, tu annules les dérivées partielles, a mon avis il y a des choses faisables

ou alors tu fais de l'optimisation avec des logiciels type matlab ou plus simple un truc comme regressi

[kazeriahm]

j'ai oublié de le dire mais le probleme avec ta méthode de résolution c'est qu'il se peut qu'elle n'ait pas de solution, auquel cas tu dois trouver la "meilleure approximation" (d'habitude au sens L^2, d'ou le carré dans la somme du message précédent)

[JJa]

Bonjour,

Il serait préférable de faire une seule régression portant simultanément sur x, y et z au lieu de deux régressions indépendantes, l'une avec x et z , l'autre avec y et z. Avec une seule régression, tous les coefficients sont optimisés de façon cohérente.
Les régressions multivariables sont classiques en statistiques.
Par exemple, le cas général est résumé en pages 8-9 de l'article "Régressions coniques, quadriques, ..." accessible par le lien suivant :
http://www.scribd.com/people/documents/10794575-jjacquelin
Bien entendu, il faut adapter les notations et le nombre de variables :
Au lieu de F(x) on écrira F(x,y) et au lieu de y=f(x) on écrira z=f(x,y)
F1(x,y) = 1
F2(x,y) = x
F3(x,y) = y
F4(x,y) = x²
F5(x,y) = xy
F6(x,y) = y²
f = z
La fonction f(x,y) étant :
f = a1*F1 + a2*F2 + a3*F3 + a4*F4 + a5*F5 +a6*F6
(dans ta notation, ce sont les coefficients a, b, c, d, e, f respectivement)
On trouve les valeurs optimum des coefficients a1, a2, ..., a6 par le calcul matriciel indiqué (si on ne tombe pas par malchance sur un cas spécial de déterminant nul, éventualité signalée judicieusement par kazeriahm )

[DrDam]

désolé ...

la prépa est hyper loin ....

je ne sais plus comment l'appliquer ....

désolé

[DrDam]

Je viens de comprendre ... j'applique ça ce soir ... et on en reparle demain

[Maxibirus]

Bonjour!! Tu es nouveau sur le forum: je t'invite à aller le réglement du forum, et aussi à un peu plus de courtoisie!

Alors ça fonctionne ?

Moi pour mon stage je cherche la même chose ! Mais en plus il faut qu'en variant les valeurs de z de + à - 10 % , les valeurs des paramètres obtenus restent toutes proches des valeurs obtenu avec les vrais valeurs de z.

[zerroudi]

Je suis d'accord avec kazeriahm le plus simple c'est de resoudre un logiciel de calcul numérique.
Sur matlab par exemple, il y a une fonction faite pour ca c'est fminunc (Find minimum of unconstrained multivariable function). La fonction à minimiser sera la norme de la difference z1 - z2 (z1 les données numériques que tu a et z2 est la loi mathématique z2 = a + b*x + ...