Comment montrer qu'une transformée de fourier est bien definie ?

[bou3ou]

bonjour

la question me parait simple meme trop simple pour moi il faut juste monter que la fonction est continue ca me parait une question trop simple pour un niveau M1

pour ces fonctions la:

f(x) = exp(-2x) si x>0 et f(x)=exp(x) si x<=0 pour montrer que sa trasformée de fourier est bien definie moi je montrerai juste qu'elle continue en 0


pareil pour cette fonction

h(x) = -cos(x)/x^2 + sin(x)/x^3

merci pour votre aide

[mathelot]

Bj,

le mieux est que tu raisonnes en terme d'espaces (d'ensembles)
de fonctions.

Il y a donc un domaine de départ, un domaine d'arrivée et un opérateur linéaire.
l'opérateur linéaire est un "bien grand mot" pour désigner une application linéaire,définie sur un espace vectoriel dont les "vecteurs" sont les fonctions.



L'appelation "transformée de Fourier" concerne toute une famille d'opérateurs linéaires sur

,les espaces de Sobolev, les fonctions à
support compact et aussi des espaces discrets (FFT)

Ces espaces de départ sont liés entre eux par des théorème de densité:
exemple: le théorème de Weiertrass montre que les polynomes sont denses
dans l'espace des fonctions continues muni de la convergence uniforme

Ce qui est (très) intéressant et basique au niveau de Fourier:

- cette transformation a des aspects "inversibles" mais il y a un problème
quand l'ensemble de départ et d'arrivée sont différents
- ça marche bien avec le produit de convolution
- l'ensemble de départ idéal est L2 et non pas L1.
Le souci, c'est que la définition de l'opérateur dans L2
est relativement "abstraite", car une image est définie comme une limite
en utilisant un théorème de densité (j'espère que ça n'a pas trop changé depuis 30 ans :we: )

voili-voilou.
Donc , en conclusion, on détermine à quel espace de fonctions appartient l'intégrande et on applique...le cours