Comment est ce qu'on peut résoudre ça ?

[barbu23]

Bonsoir à tous,

J'ai besoin de résoudre le système suivant dans :

Soient :
Soit tel que : :
Le système est :



Les inconnues sont avec .

Merci d'avance pour votre aide. :happy3:

[Mathusalem]

Bonsoir à tous,

J'ai besoin de résoudre le système suivant dans :

Soient :
Soit tel que : :
Le système est :






Les inconnues sont avec .

Merci d'avance pour votre aide. :happy3:

Je réponds un peu vite, mais est-ce que tu as considéré que tu as 4 équations pour 6 inconnues ?

[barbu23]

Je réponds un peu vite, mais est-ce que tu as considéré que tu as 4 équations pour 6 inconnues ?

Oui, l'équation a probablement une infinité de solutions. :hein:
J'ai corrigé mon premier poste : . :happy3:

[Luc]

Salut,

le système n'a pas de solutions si est différent de .
Du coup, tu as six inconnues et trois équations complexes. Donc il risque d'y avoir une infinité de solutions. A moins que les inconnues soient réelles?

EDIT : je n'avais pas vu les réponses. Du coup, tu as effectivement 4 équations complexes et six inconnues, il risque d'y avoir une infinité de solutions. A moins que les inconnues soient réelles?

[barbu23]

Salut,

le système n'a pas de solutions si est différent de .
Du coup, tu as six inconnues et trois équations complexes. Donc il risque d'y avoir une infinité de solutions. A moins que les inconnues soient réelles?

Non, j'ai corrigé : , et non . :happy3:

Edit : D'accord, j'ai lu ton "Edit". :zen:

[Luc]

Non, j'ai corrigé : , et non . :happy3:

Bien oui, j'ai vu et c'est ce que j'ai dit dans mon EDIT :we:

[Luc]

Une idée : as-tu essayé de résoudre le système (plus simple) suivant :


Si tu arrives à trouver une solution à ce système, cela voudra dire que pour tout couple fixé, il existera une solution du système initial (il suffit de remplacer les par des ).
Et là il y a autant d'équations que d'inconnues.

[barbu23]

Une idée : as-tu essayé de résoudre le système (plus simple) suivant :


Si tu arrives à trouver une solution à ce système, cela voudra dire que pour tout couple fixé, il existera une solution du système initial (il suffit de remplacer les par des ).
Et là il y a autant d'équations que d'inconnues.

Ben, si on avait un système comme suit :

ça aurait été, très facile à résoudre, en remarquant que les facteurs représentent des matrices de Vandermonde. :happy3:
Il suffit de compléter ton système par les inconnues .

[Luc]

Ben, si on avait un système comme suit :

ça aurait été, très facile à résoudre, en remarquant que les facteurs représentent des matrices de Vandermonde. :happy3:
Il suffit de compléter ton système par les inconnues .

Tu es sûr de ce que tu dis? Je vois pas en quoi rajouter 4 inconnues va simplifier le problème. Et je ne vois pas de quelle matrice tu parles et pourquoi elle serait de Vandermonde.

[barbu23]

Par exemple,

équivaut à :

avec :

:happy3:

[Luc]

Ok, mais tu oublies les là non? L'équation de départ n'est pas linéaire mais bilinéaire en les et .
Ou alors tu prends les et les égaux et tu prends des racines carrées des ?

Du coup le déterminant de ce système de Vandermonde vaut det(V(1,j,j^2,j^3))=(j-1)(j^2-1)(j^3-1)(j^2-j)(j^3-j)(j^3-j^2)=(j-1)^3(j^2-1)^2(j^3-1)

Si j=-1, le déterminant est nul.
Si j=i, le déterminant vaut D=(-1+i)^3(-2)^2(-1-i)=2(1+i)*4*(-1)*(1+i)=-8(2i)=-16i
Si j=-i, le déterminant vaut D=(-1-i)^3(-2)^2(-1+i)=2(1-i)*4*(1-i)=8*(-2i)=-16i : pas surprenant.

Je ne sais pas trop pourquoi j'ai calculé ce déterminant, mais désormais c'est fait.

[barbu23]

Oui, mais moi, je cherche à résoudre le premier système que j'ai proposé dans le premier poste. Ce n'est pas encore claire pour moi la démarche. :cry: :help:

[Luc]

Oui, mais moi, je cherche à résoudre le premier système que j'ai proposé dans le premier poste. Ce n'est pas encore claire pour moi la démarche. :help:

Tu disais que le système


aurait été, "très facile à résoudre" mais je ne vois toujours pas pourquoi.

[barbu23]

Du coup le déterminant de ce système de Vandermonde vaut det(V(1,j,j^2,j^3))=(j-1)(j^2-1)(j^3-1)(j^2-j)(j^3-j)(j^3-j^2)=(j-1)^3(j^2-1)^2(j^3-1)

Si j=-1, le déterminant est nul.
Si j=i, le déterminant vaut D=(-1+i)^3(-2)^2(-1-i)=2(1+i)*4*(-1)*(1+i)=-8(2i)=-16i
Si j=-i, le déterminant vaut D=(-1-i)^3(-2)^2(-1+i)=2(1-i)*4*(1-i)=8*(-2i)=-16i

Pour le calcul du déterminant, il y'a une méthode générale, il suffit de lire ce qui est écrit ici :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,556047,556069

[barbu23]

Tu disais que le système


aurait été, "très facile à résoudre" mais je ne vois toujours pas pourquoi.

Ici, le calcul est trop long, j'essaye de te le résumer demain matin.
Essaye de m'aider pour la question de départ. :happy3:

[Luc]

Pour le calcul du déterminant, il y'a une méthode générale, il suffit de lire ce qui est écrit ici :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,556047,556069

Tu parles de méthode générale = on a l'expression du déterminant comme produit des (ce que j'ai utilisé) ou de méthode générale dans le cas d'une racine n-ième de l'unité?

[barbu23]

Tu parles de méthode générale = on a l'expression du déterminant comme produit des (ce que j'ai utilisé) ou de méthode générale dans le cas d'une racine n-ième de l'unité?

dans le cas d'une racine - ième de l'unité. :happy3:

[barbu23]

Un peu d'aide svp. :happy3: