Comment comprendre les sommes de ce type

[MoonX]

Bonjour,

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi, (et comment montrer que) :
pour (u_n) et (v_n) des termes généraux de séries absolument convergentes.

Je vous remercie par avance !

[Ben314]

Salut,
Déjà, écrit comme tu l'écrit, ça ne m'étonne pas que tu ne comprenne pas vu que c'est complètement faux.
Ce qui est vrai (modulo de supposer les deux séries "simples" de gauche absolument convergentes, c'est que qu'on peut éventuellement écrire sous la forme où il est sous entendu que et sont des entiers positifs.

Ensuite, ce que tu comprend pas, c'est quoi,
a) Pourquoi la somme "double" est C.V. lorsque les deux somme "simples" le sont ?
b) Pourquoi il est on ne peut plus normal et évident (modulo d'admettre la C.V.) que la "somme double" soit égale au produit des deux sommes simples ?

[MoonX]

Merci pour votre réponse.

Le problème c'est que c'est vraiment ça qui est écrit dans l'énoncé ; excepté la faute de frappe (corrigée ci-dessous) :



Est-ce vraiment faux ? (les séries sont toutes absolument convergentes) J'ai l'impression que toutes les combinaisons possibles pour le produit u_kv_l est réalisé dans les deux cas (k+l=n et kl=n). Mais c'est possible que l'énoncé soit faux.

[Ben314]

Effectivement, ça marche aussi avec le produit (et bien sûr, c'est toujours aussi convergent), mais ça me semble quand même un peu bizarre de formuler la somme en regroupant de cette façon vu que dans le cas où n=0, la somme faite sur les couples (k,l) tels que le produit kxl est égal à 0, c'est une somme infinie.