Combinatoires

[Mathusalem]

Je dois calculer la dégénerescence du p-ième niveau d'énergie d'un oscillateur harmonique quantique à N-dimensions.

Le problème est le suivant : Soit
Calculer le nombre de manières d'obtenir
Je dois obtenir

J'ai essayé d'attaquer le problème hier soir en fixant a_1, puis a_2, etc.. jusqu'à a_N-2, puis faire varier a_N, mais j'ai pas eu beaucoup de succès. Comment commencer ?

[chan79]

Je dois calculer la dégénerescence du p-ième niveau d'énergie d'un oscillateur harmonique quantique à N-dimensions.

Le problème est le suivant : Soit
Calculer le nombre de manières d'obtenir
Je dois obtenir

J'ai essayé d'attaquer le problème hier soir en fixant a_1, puis a_2, etc.. jusqu'à a_N-2, puis faire varier a_N, mais j'ai pas eu beaucoup de succès. Comment commencer ?

salut
supposons que p=5 et N=4
on considère donc 5 points . . . . .
il faut les séparer pour faire apparaître 4 groupes (contenant éventuellement 0 point)
on les sépare par des traits
.|..|.|. soit 1+2+1+1=5
|..|.|.. soit 0+2+1+2=5
||....|. soit 0+0+4+1=5
en fait, il y a 5 points et 3 traits
il faut choisir 3 objets (les traits) parmi 8
donc le résultat est (3 parmi 8)
dans le cas général: (N-1 parmi N+p-1) ou ce qui revient au même (p parmi N+p-1)
C'est Jiri Matousek qui propose cette démonstration dans son livre "Introduction aux mathématiques discrètes"

[alm]

Salut

Je dois calculer la dégénerescence du p-ième niveau d'énergie d'un oscillateur harmonique quantique à N-dimensions.

Le problème est le suivant : Soit
Calculer le nombre de manières d'obtenir
Je dois obtenir

J'ai essayé d'attaquer le problème hier soir en fixant a_1, puis a_2, etc.. jusqu'à a_N-2, puis faire varier a_N, mais j'ai pas eu beaucoup de succès. Comment commencer ?

Puisque tu as conjecturé la formule, je suggére que tu la démontres par récurrence .
Il faut bien formuler la propriété à démontrer :

...la formule ... est vraie QUELQUE SOIT

Avant tout remarquons que le nombre que tu as trouvé vaut aussi :

Pour l'hérédité tu suppose que c'est vraie pour et tu prouve que le nombre de solutions de l'équation : est

Pour cela il suffit de remarque que l'équation (1) est equivalente à :



Par hypothése de récurrence le nombre de sols est :

On veu obtenir :

Il suffit de remarquer que :

ce qui fournit : et permet de rendre la somme (2) ci-dessus TELESCOPIQUE ...

[Mathusalem]

Merci à vous deux,
J'avais déjà vu le raisonnement que tu proposes Chan79, mais j'ai la mémoire courte.

Merci Mohamed, mais la démo par récurrence dans ce cas me satisfaisait pas, j'avais envie du raisonnement qui mène au résultat.

[alm]

mène au résultat.

Dans ce cas je te donne le mot clef : Nombre de combinaisons avec REPETITION de éléments parmis et comme tu peux le remarquer , contrairement aux combinaisons sans répétions qui supposent que , cette hypothèse n'est pas necessaire avec les combinaisons avec répétition.

Si ton domaine est la physique , il sera plus commode d' ajouter ça à la bibiothèque de ta mémoire car à mon avis il faudra immédiatement donner la réponse (notée habituelemnt )

[Judoboy]

On prend en compte l'ordre des éléments ou pas ?

[chan79]

On prend en compte l'ordre des éléments ou pas ?

A priori, on cherche des N-uplets donc l'ordre compte mais c'est à Mathusalem de préciser

[Mathusalem]

On prend en compte l'ordre des éléments ou pas ?

non, ça n'importe pas ici.

[Judoboy]

non, ça n'importe pas ici.

Bah du coup y en a moins que p parmi p+n-1 non ? Avec la méthode de chan79 si on a 2 fois le même n-uplet mais pas dans le même ordre on va le compter 2 fois.