Combinatoire: plusieurs groupes d'éléments

[mickael]

Bonjour,

Je suis étudiant, et dans un cadre extrascolaire je n'arrive pas à résoudre un problème (de façon optimale).
Le problème consiste, en partant des diviseurs premiers d'un nombre à retrouver l'ensemble des diviseurs du dit nombre. Dans mon cas le nombre est 3024, il se décompose en 2^4 * 3^3 * 7.
J'ai donc 3 groupes de 4, 3 et 1 éléments: je cherche la somme des nombre de combinaisons de 8 à 1 éléments pour trouver le nombre total des diviseurs de 3024 (autre que 1).
J'ai séparé les 2, 3 et 7 en différents groupes, et je considère que chaque diviseur est le produit de ces nombres premiers. D'où l'idée de les traiter comme des combinaisons.
J'ai réussi à la calculer ce nombre mais purement grâce à du calcul mental (40 en tout), je cherche à présent une formule qui me permettrait de trouver ces combinaisons en fonction du nombre de groupe et de la quantité d'éléments contenus.

PS: je n'ai pas réussi à sélectionner la destination de la question, et il semblerait que elle va se poster dans "supérieur" bien que je sois en terminale. Je vous prie de m'excuser.

Merci de votre aide et bonne journée.

[Elias]

Salut,

Si n est un entier admettant la décomposition suivante en produit de facteurs premiers: (où les sont des nombres premiers et les des entiers naturels) alors en adaptant ta méthode de dénombrement dans ton cas particulier (qui se résume à faire un arbre en fait) on montre que le nombre de diviseurs de n est:
Autrement, on multiplie les (exposants+1)
Dans ton cas, on retrouve 40 en faisant 5*4*2

[pascal16]

car les exposants correspondants à p₁ dans la décomposition ont une valeur entre 0 et a₁, soit a₁+1 valeurs.
On multiplie les 'choix' dans la décomposition pour les compter.
on a alors tous les diviseur de 1 à n, 1 et n compris.

[Pseuda]

Bonjour,

Je reprends l'expression de Trident2 : . L'enssemble des diviseurs de est l'ensemble des nombres de la forme : , avec .

Donc ici l'ensemble des nombres , avec .

[mickael]

Bonjour,

Merci beaucoup par les réponses, c'est sur que c'est bien plus simple comme ça .