Colle polynômes

[lartdeladivisionparzero]

Salut à tous,
J'ai un petit souci avec une question qui ne m'a pas l'air bien méchante, et pourtant ...

On considère un polynôme P de degré n dont tous les coefficients sont strictement positifs.

On suppose tout d'abord que les coefficients sont strictement décroissants (la constante étant donc le plus grand). On cherche à montrer que le module de chaque racine de P est supérieur à 1. (Ce que j'ai fait en supposant par l'absurde, en multipliant P par (X-1) et en bidouillant l'inégalité triangulaire)

Dans un second temps, on n'a plus l'hypothèse des coefficients décroissants. On veut montrer que, pour toute racine complexe z, min ai/a(i-1) ;) |z|;) max ai/a(i-1) (les ai pour i allant de 1 à n étant les coefficients (avec a0 la constante)). J'imagine qu'il faut se ramener par une nouvelle factorisation au cas précédent mais il me manque l'illumination dans ce cas ...

Merci à tous !

[BertrandR]

Ce résultat s'appelle le théorème d'Eneström-Kakeya.

Effectivement pour se ramener au 1 je t'invite à poser :


et à considérer d'une part, puis pour retourner l'ordre des coefficients.


Bonne réflexion.

P.S : Au passage c'est un exo posé à l'X, donc l'expression "pas bien méchante" est peut être un peu exagérée :lol3:

[lartdeladivisionparzero]

Ah oui, tout de suite, ça marche beaucoup mieux ...
Merci beaucoup ! :)