Cohomologies

[lapras]

Bonsoir,

je voudrais comprendre si il y a un lien entre la cohomologie des groupes et la cohomologie singulière (ou la cohomologie des faisceaux pour un faisceau "sympa" du genre localement isomorphe à un faisceau constant).

Donc je cherche un énoncé du style : soit X un espace topologique (sympathique), soit G son groupe fondamental.
Soit F un faisceau localement isomorphe à un faisceau constant sur X de fibre un espace vectoriel V sur un corps k (i.e. F est un système local pour V). On a une action de G sur V (car système local = représentation de Pi_1).
Alors H^k(G, V) = H^k(X, F). (le premier terme = cohomologie des groupes, le deuxième = cohomologie des faisceaux)

On peut peut être déjà essayer avec F un faisceau constant, donc montrer que H^k(G, V)
H^k(X, V).


Entre autres ce genre d'identification permettrait d'expliquer des résultats "bizzare" sur la cohomologie des groupes... Mais j'en ai besoin en l'occurence pour des formes modulaires (isomorphisme d'Eichler-Shimura).

Lapras

[barbu23]

Bonsoir, :happy3:
Pour le cas des groupes abéliens, donc des - modules, leurs cohomologies à coefficients dans le faisceau constant , est égale à la cohomologie singulière. La première est obtenu comme étant une cohomologie de Cech, la deuxième est obtenu à partir d'une résolution acyclique. Ces deux cohomologies coincident. ( J'espère ne pas avoir dit de bêtises, car celà remonte à longtemps mon premier contact avec la cohomologie des faisceaux, et je l'ai pas appris avec beaucoup de sérieux ).
Pour des groupes quelconques, je ne sais pas, je n'ai pas assez de prérequis en cohomologie Galoisienne pour pouvoir t'apporter de l'aide.
Cordialement. :happy3:

Edit : As tu une idée sur ce qu'est la conjecture de Hodge ? juste pour savoir si on peut débattre tous les deux sur cette conjectures ? pour que je profite une peu de tes explications et de tes connaissances. Ce domaine m’intéressent énormément. :happy3:

[barbu23]

Bonsoir, :happy3:

Pour le cas des groupes abéliens, donc des - modules, leurs cohomologies à coefficients dans le faisceau constant , est égale à la cohomologie singulière. La première est obtenu comme étant une cohomologie de Cech, la deuxième est obtenu à partir d'une résolution acyclique. Ces deux cohomologies coincident. ( J'espère ne pas avoir dit de bêtises, car celà remonte à longtemps mon premier contact avec la cohomologie des faisceaux, et je l'ai pas appris avec beaucoup de sérieux ).

Pour des groupes quelconques, je ne sais pas, je n'ai pas assez de prérequis en cohomologie Galoisienne pour pouvoir t'apporter de l'aide.

Au passage, j'ai une question à te poser : as tu une idée sur ce qu'est la conjecture de Hodge ? juste pour savoir si on peut débattre tous les deux sur cette conjectures ? pour que je profite une peu de tes explications et de tes connaissances. Ce domaine m’intéressent énormément. :happy3:

Cordialement. :happy3:

[Doraki]

Je dis ptetre une betise, mais si X est compact alors pour k assez grand, Hk(X,F) est nul, tandis que pour la cohomologie des groupes, c'est quasiment jamais le cas ?

[lapras]

Je dis ptetre une betise, mais si X est compact alors pour k assez grand, Hk(X,F) est nul, tandis que pour la cohomologie des groupes, c'est quasiment jamais le cas ?

C'est vrai ça...
En fait (même si ça n'a pas grand chose à voir), j'ai un doute : est ce que la cohomologie singulière à coefficient dans un groupe V est égale à la cohomologie du faisceau constant V ? C'est vrai pour V=Z en prenant une résolution de différentielles Z-> Omaga^1 -> ... (cf lemme de poincaré), on obtient la cohomologie de De Rham, isomorphe à la cohomologie singulière. Je ne suis pas certain pour V du genre Z/2Z.

Mais je crois comprendre pourquoi ce que tu as dit ne contredit pas ce que je cherche : en fait si V = faisceau constant, l'action du groupe fondamental sur V est triviale (on a un système local trivial). Donc on se retrouverait avec une cohomologie H^k(G, V), V G-mod trivial. Et dans ce cas peut etre que la cohomologie est nulle à partir d'un certain rang ?

[barbu23]

Pourquoi tu refuses de me répondre ? :marteau:

[lapras]

Pourquoi tu refuses de me répondre ? :marteau:

C'est parce que je n'y connais rien en ce qui concerne la "conjecture de Hodge". Désolé. Moi j'étudie la conjecture de Serre (représentations galoisiennes mod l associées à une forme modulaire)...

[lapras]

J'ai trouvé sur internet une réponse :

On a effectivement H^k(X, F) = H^k(Pi_1(X), V) où F système local de fibre V, à condition que X soit un K(G,1), i.e. Pi_1(X) = G et les Pi_k(X) = 0 pour k>1 (groupes d'homotopies supérieurs).

C'est vraiment sympa, car ainsi par exemple on peut prendre X=P^(infini)(R) l'espace projectif réel de dimension infini. Son Pi_1=Z/2Z, et ses Pi_k = 0 pour k>1. Alors la cohomologie de Z/2Z (qui est moche !) s'explique topologiquement.

Autre exemple :
G groupe quelconque, Z G-module trivial, H^1(G, Z) = Hom_grp(G, Z) = G^ab (l'abélianisé). Mais si on prend un X un K(G,1), alors H1(X, Z) = Pi_1^ab = G^ab (Hurewicz) ! On retrouve le théorème d'Hurewicz.