Cohomologie de de Rham

[Nuwanda]

C'est quoi la cohomologie de de Rham du plan projectif de dimension 3 ? Est-ce que c'est la même que la sphère de dimension 3, typiquement ?

[stan75]

En mathématiques, la cohomologie de De Rham est un outil de topologie différentielle, c'est-à-dire adapté à l'étude des variétés différentielles. Il s'agit d'une théorie cohomologique basée sur des propriétés algébriques des espaces de formes différentielles sur la variété. Le théorème de De Rham affirme que la cohomologie de De Rham d'une variété différentielle est la cohomologie à coefficients réels de l'espace topologique sous-jacent.

vive wiki :id:

[Nuwanda]

Mais du coup c'est quoi l'espace topologique sous-jacent : R^4-{0} ou un truc plus compliqué ?

[R.C.]

Bonjour,
L'espace topologique sous-jacent c'est P(R^4). La cohomologie dont ca parle dans le th de de Rham, c'est la cohomlogie singulière. En fait sur une variété diff t'as pas mal de moyen de calculer la cohomologie: en regardant les formes diff, en regardant les simplexes, en regardant une triangularisation, en regardant une fonction de Morse, et d'autres... Maintenant, la cohomologie de P(R^4) n'est pas la même que celle de S^3. Si tu veux en apprendre plus sur la cohomologie, je te conseilles l'excellent poly de topo algebrique de Paulin tire d'un cours fait à Ulm.