Coefficients de Fourier - convolution

[MacManus]

Bonjour !

On considère 2 fonctions f,g avec pour coeff. de Fourier respectifs et et tels que

Ce n'est pas précisé dans l'énoncé, mais on peut tjrs écrire que et

Je dois montrer que :
les coeff de Fourier du produit de convolution de f avec g sont obtenus par produit des coeff. de Fourier de f et g, à savoir

Voici ce que j'ai fait :


Mais bon je n'utilise pas l'hypothèse que , je n'utilise pas non plus la définition des coeff. de Fourier de f et g et je ne sais pas si je dois considérer le produit de convolution discret ou pas :
...

merci pour votre aide

[Joker62]

Haileau ;)

Tu n'as pas calculé la transformée de Fourier de la convolée ici...
Tu as juste calculé la convolée...

[MacManus]

Moui mais il ne demande pas de calculer la transformée dans l'énoncé ...!

[MacManus]

Mais de toute façon je n'ai pas le choix, il faut bien utiliser la transformée de la convolée...(j'ai déjà fait un tel calcul dans le cas continu, mais ici il y a du discret et bon j'étais un peu perturbé, mais les calculs sont les mêmes je pense)

edit : nion j'ai pas envie de calculer la TF de la convolée !

[Nightmare]

Salut,

il faut justifier que le produit des séries est égal à la série produit. C'est le théorème de Fubini discret, applicable ici sous les conditions données par hypothèses sur (ck)

[MacManus]

D'accord merci Nightmare ...et merci Joker :)
Juste une petite question, la condition sur les (ck) peut aussi porter uniquement sur les (dk) non ?

[MacManus]

Bonjour

pour répondre à ma question précédente, je dirai que c'est possible.
J'ai une autre question :
si je note et , où (ck) et (dk) sont les coeff. de Fourier de f et g. Comment montrer que les coeff. de Fourier de la fonction valent, pour tout k ,
(produit de convolution discret) ?

Je veux bien un coup de pouce. Merci bcp

[alavacommejetepousse]

Bonjour !





merci pour votre aide

bonjour

le calcul du produit des sommes sous l intégrale est faux on trouve

une somme double qui devient une somme simple par orthogonalité des fonctions exp(ikt)
pour les coeffs de fourier du produit c'est justement la somme intérieur (après regroupement de termes (produit de cauchy) ) qui donne le coeff de fourier

[MacManus]

Bonjour alavacommejetepousse

D'après ce que tu dis, je dois avoir :

?

et donc par orthogonalité des exp. complexes, j'ai bien le résulat.

[alavacommejetepousse]

oui si l différent de k l intégrale du terme est nulle

[MacManus]

OK pas de pb, effectivement si l différent de k, et comme , on obtient 1-1, et donc l'intégrale est nulle. Si l=k alors l'intégrale vaut T et on a bien le résultat. Merci alava.

Pour mon post #7, je pense qu'il faut procéder de la même façon, mais je n'arrive pas à continuer. Peux-tu m'aider un peu stp ? merci

[MacManus]

pour les coeffs de fourier du produit c'est justement la somme intérieur (après regroupement de termes (produit de cauchy) ) qui donne le coeff de fourier

Ok, tu répondais à ma question (post #7).dsl

[MacManus]

Bonjour

si je note et , où (ck) et (dk) sont les coeff. de Fourier de f et g. Comment montrer que les coeff. de Fourier de la fonction valent, pour tout k ,
(produit de convolution discret) ?

(produit de Cauchy)

on peut avoir le cas n=k ou n différent de k, mais je ne vois pas comment aboutir au résultat : il reste toujours une exponentielle. Quelqu'un peut-il m'éclairer ? merci beaucoup

[Ben314]

Sauf erreur, tu développe bétement le produit des deux sommes puis tu regroupe les termes ayant le même "exposant" (comme un produit de deux polynôme).
C'est ce que tu as commencé à faire, sauf que, dans ta somme, les domaines dans lequels varient les indices ne sont pas bon...
A mon avis, tu as plus un problème avec le symbole "sigma" qu'avec les série de fourier : ecrit tes deux sommes de départ avec des points de suspension et fait en le produit : tu trouvera immédiatement le résultat.
Evidement, sur une copie "au propre", il vaut mieux rédiger avec des "sigma".

[Ben314]

Voila une facon de rédiger afec les "sigma" :

Note qu'ici, il est malin de prendre deux lettres différentes dés le début.


Ici, on a développé : on a donc tout les produits imaginable d'un terme de la première somme par un terme de la deuxième somme.
On peut évidement écrire cela avec un "double sigma" mais on peut l'écrire avec un seul : cela vient simplement du fait que l'addition est commutative et associative : on peut faire des additions dans l'ordre que l'on veut.


Là, il n'y a rien à dire...


Ici, on regrouppe tout les termes ayant le même . Si on écrivait les somme avec des points de suspention, cela reviendrait à mettre en facteur les termes ayant le même .
On utilise aussi le fait qu'au maximum/minimum, vaut .
Reste à expliciter qui est dans la formule :
c'est ce que l'on a mis en facteur c'est à dire la somme de tout les tels que ET :
Pour tout on a

Enfin,on peut écrire cette somme plus simplement en constatant que les trois conditions
peuvent s'écrire
soit encore
On peut donc écrire :
Ou encore pour et pour

Enfin la dernière solution est d'écrire en précisant que lorsque on considère que (mais il faut absolument écrire cette précision...)

[MacManus]

Voila une facon de rédiger afec les "sigma" :

Note qu'ici, il est malin de prendre deux lettres différentes dés le début.


Ici, on a développé : on a donc tout les produits imaginable d'un terme de la première somme par un terme de la deuxième somme.
On peut évidement écrire cela avec un "double sigma" mais on peut l'écrire avec un seul : cela vient simplement du fait que l'addition est commutative et associative : on peut faire des additions dans l'ordre que l'on veut.


Là, il n'y a rien à dire...

Oui je suis bien d'accord.

Je vais prendre le temps d'analyser le reste. merci beaucoup. Je te dirai si il y a qq trucs qui m'échappent. merci

[MacManus]

Ici, on regrouppe tout les termes ayant le même . Si on écrivait les somme avec des points de suspention, cela reviendrait à mettre en facteur les termes ayant le même .
On utilise aussi le fait qu'au maximum/minimum, vaut .
Reste à expliciter qui est dans la formule :
c'est ce que l'on a mis en facteur c'est à dire la somme de tout les tels que ET :
Pour tout on a

Enfin,on peut écrire cette somme plus simplement en constatant que les trois conditions
peuvent s'écrire
soit encore
On peut donc écrire :

Ok ca roule

Ou encore pour et pour

est-ce que tu peux expliquer ce passage ? comment fais-tu pour distinguer ces 2 cas ? merci

!! Non c'est bon c'est simple à comprendre. merci bcp Ben314 !! :++: