CNS d'indépendance linéaire

par **entropik** » 28 Jan 2007, 19:45

Bonsoir,
Je cherche la condition nécessaire et suffisante pour que des vecteurs soient linéairement indépendants mais j'ai du mal à choisir entre deux propositions. Pourriez-vous m'indiquer laquelle convient le mieux?
1. Des vecteurs sont linéairement indépendants ssi aucun d'eux n'est combinaison linéaire des autres et s'ils sont non nuls
2. p vecteurs x d'un espace vectoriel quelconque sont linéairement indépendants ssi il existe des scalaires

tels que

implique

par **bitonio** » 28 Jan 2007, 19:46

les deux sont équivalentes

On préfère souvent la deuxième soit dit en passant (pour montrer que c'est libre on montre que si la somme vaut 0, alors tous les

sont égaux à 0)

A plus

par **fahr451** » 28 Jan 2007, 19:48

oui équivalentes , "aucun n' est nul" est redondant

par **entropik** » 28 Jan 2007, 19:56

Ah merci mais je me souviens qu'on devait bien faire la distinction entre définition et CNS aux interros. Donc quelle serait la définition? Ne peut-on pas dire que la proposition 1 est la définition et la 2ème la CNS?
Tiens je ne vois pas bien en quoi le fait qu'aucun vecteur ne soit combinaison linéaire des autres implique qu'ils soient non nuls

par **fahr451** » 28 Jan 2007, 19:57

le vecteur nul est cbl de n'importe quoi

la définition est 2 avecun bémol pour le "il existe" ...un "quels que soient
les scalaires .." aurait été préférable.

par **entropik** » 28 Jan 2007, 20:05

fahr451 a écrit:la définition est 2 avecun bémol pour le "il existe" ...un "quels que soient
les scalaires .." aurait été préférable.

Cela signifie que la 2ème est à la fois la CNS et la définition ou que seule la première est une CNS?

par **fahr451** » 28 Jan 2007, 20:20

comme 1 et 2 sont équivalentes on prend l une comme définition et l autre devient une caractérisation

en général on prend 2 comme définition (plus maniable)

par **bitonio** » 28 Jan 2007, 21:42

entropik a écrit:Tiens je ne vois pas bien en quoi le fait qu'aucun vecteur ne soit combinaison linéaire des autres implique qu'ils soient non nuls

un exemple simple dans le plan

Si tu as deux vecteurs non colinéaires, la famille est libre.

si x+y=0, alors on a x=y=0 (fais un dessin si tu as un doute :we: !)

par **bitonio** » 28 Jan 2007, 21:45

fahr451 a écrit:comme 1 et 2 sont équivalentes on prend l une comme définition et l autre devient une caractérisation

en général on prend 2 comme définition (plus maniable)

Je suis d'accord (d'ailleurs je l'avais dit dans mon premier post). Je me rappelle avoir sorti cette définition en colle (la première) et le colleur n'avait pas trop apprécié. C'est bon mais c'est pas la définition courante...

A plus

par **entropik** » 28 Jan 2007, 22:10

OK Merci du conseil

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