Classe d'équivalence et anneaux

[romutoi]

Bonjour à tous !

Je suis coincé sur l'énoncé suivant :

Soit n un entier >= 2 et kcZ.
Montrer que la classe de k modulo n appartient à (Z/nZ)* ssi k^n=1.

Quelqu'un peut-il m'aider ? Je ne suis pas du tout à l'aise en algèbre...

merci d'avance

romutoi

[Skullkid]

Bonjour, pars de la définition d'un inversible :



Tu peux continuer en une chaîne d'équivalences jusqu'à aboutir au résultat. A chaque fois, demande-toi ce que signifie ce que tu viens d'écrire (par exemple ici, comment ça se traduit que ).

[tize]

Bonjour,
es-tu sur de ton énoncé ? Ou alors je n'ai pas compris quelque chose, (Z/nZ)* c'est bien l'ensemble des inversibles de (Z/nZ) ??
Si c'est bien ça alors c'est faux :
4 est inversible dans Z/5Z : 4*4=1+3*5 mais
4^5 = 1024 qui n'est pas égal à 1 modulo 5...
Ce serait pas plutôt avec l'indicatrice d'Euler ?

[Skullkid]

Je pense qu'il s'agit du pgcd (enfin c'est comme ça que je l'ai considéré), mais c'est vrai que la notation est trompeuse.

[tize]

Ah OK :we: dans ce cas romutoi suis les indications de Skullkid.

[romutoi]

effectivement j'utilise la notation a^b pour désigner pgcd(a,b).
merci pour vos réponses, je vais essayer de rédiger tout ça.

romu

[romutoi]

En fait j'aimerai procéder par implication et non par équivalence pour etre plus rigoureux (je rédige un devoir type capes).

Tu viens de m'éclairer. Je pense l'écrire comme cela :

pour plus de commodité, j'écrirai "kn barre" par Cl(K) (classe de k modulo n).

cl (k) appartient à (Z/nZ)* => Cl(k) est inversible dans Z/nZ => il existe u dans Z tq cl(u) cl(k) = cl(1) soit encore ku - 1 appartient à nZ => il existe donc b dans Z tq ku + bn = 1. Donc k ^ n = 1 (bezout).

Réciproquement, soit k dans Z tq k ^ n = 1. Il existe deux entiers u et v tq ku + vn = 1 (bezout) et donc cl(k) cl(u) = cl(1) => cl(k) appartient à (Z/nZ)*
CQFD

Que penses-tu de ma démo Skullkid ?

[Skullkid]

Ta démo est bonne

Mais je ne comprends pas pourquoi tu veux procéder par double implication alors que tu peux procéder par équivalence, tu remarques que les étapes dans les deux sens sont exactement les mêmes : tu peux remplacer toutes tes implications par des équivalences dans

cl (k) appartient à (Z/nZ)* => Cl(k) est inversible dans Z/nZ => il existe u dans Z tq cl(u) cl(k) = cl(1) soit encore ku - 1 appartient à nZ => il existe donc b dans Z tq ku + bn = 1. Donc k ^ n = 1 (bezout).

Pourquoi s'en priver ? Je ne pense pas que ça enlève de la rigueur à ton travail.

Enfin après c'est ton choix, la démo est bonne dans les deux cas ^^

[romutoi]

En fait, si tu veux on nous demande de décomposer nos démos comme cela. C'est vrai que cela peut paraitre inutile (surtout ici) mais c'est la forme demandée... alors on applique bêtement ce qu'on nous demande...

en tout cas merci pour ton aide !!!

à bientôt !!