Clarification sur les axiomes

[Archytas]

Salut,
Je voudrais être bien fixé sur quelque chose ! Si par exemple je prends un théorème, disons le théorème de Bézout et que je veux le démontrer mais qu'à chaque argument qu'on me sort je demande "Pourquoi c'est vrai" et qu'on me répond à chaque fois la démonstration de l'affirmation qu'on a énoncé pour justifié. Si j'ai bien compris on arrivera jusqu'à un point où on pourra plus me dire mieux que "c'est comme ça parce que nous l'avons voulu ainsi" i.e les axiomes de la base de notre théorie et dans le cas du théorème de Bézout, on est en arithmétique donc on arrivera aux axiomes de Peano.
Ma question est : est ce que je viens de dire est un ramassis de connerie ou alors je suis juste ou alors je suis dans la bonne voie mais un peu à côté de la plaque.
Parce que pour moi c'est comme ça que ça marche mais quand je lis les axiomes de l'arithmétique de Peano j'ai du mal à voir comment on peut arriver à arriver à tous les résultats actuels...
Merci d'avance pour vos réponses !

[Robot]

Je ne comprends pas bien quelle clarification tu cherches. Que le théorème de Bézout est un théorème de l'arithmétique du premier ordre ?

[Archytas]

Juste savoir si c'est bien ainsi que fonctionnent les maths : on prend un système d'axiomes, et, à partir de ceux ci on en déduit toute la théorie. En d'autres terme si on a nos axiomes et qu'on les "combine" le résultat de leurs implications est exactement la théorie qu'on veut. J'ai pas trop de vocabulaire dans ce domaine donc non seulement j'ai du mal à me faire comprendre mais en plus je comprends pas ce que vous entendez par "théorème du premier ordre".
En gros est ce qu'une théorie est construite UNIQUEMENT à l'aide d'opérations logiques sur ses axiomes et leurs implications ou alors c'est plus compliqué que ça ?
Et non le théorème de Bézout en lui même ne m'intéresse pas c'était juste un exemple comme ça pour illustrer ma pensée

[Ben314]

Personnellement, je répondrait que "tu es parfaitement dans le juste", à quelques détails prés :
- Déjà, ma vision des axiomes (j'insiste sur le ma) c'est pas que c'est des trucs "qu'on admet comme vrai", ou des truc "qu'on impose", mais je vois plutôt ça comme signifiant qu'on étudie un "univers" (met un autre mot si tu préfère) qui n'est éventuellement (voire surement) pas le notre dans lequel ces truc là sont vrais : je préfère cette formulation qui permet de dire que, si deux matheux n'utilisent pas les même axiomes, ça ne veut pas dire "qu'ils ne sont pas d'accord", mais uniquement qu'ils n'étudient pas le même "univers".
- L'arithmétique, tu peut soit la prendre "telle quelle" en partant des axiomes de Peano (voire d'autres systèmes d'axiomes : ceux de Peano ne sont pas les seuls), soit tu peut la construire à partir d'un autre système d'axiomes (par exemple Zermelo Franckel ou... un autre) donc quand tu descend "au plus bas", ce que tu va obtenir dépend du système choisi au départ.

Mais à part ces détails, ça me semble tout a fait correct.

Après, si ce qui te surprend, c'est l'apparente simplicité des axiomes de Peano, méfie toi quand même (en particulier du dernier...) et dit toi bien que, partant "que de là", c'est pas trivial-trivial de tout (re)construire...

En gros est ce qu'une théorie est construite UNIQUEMENT à l'aide d'opérations logiques sur ses axiomes et leurs implications ou alors c'est plus compliqué que ça ?

La il me semble que c'est "carré" : OUI : une théorie mathématique, c'est uniquement la donnée d'axiomes et de "règle de déductions" que l'on peut me semble t-il appeler "opérations logiques" (et qui sont les mêmes pour bon nombre de théories, mais pas toutes : logique floue, ...)

[Archytas]

D'accord, je vous explique en deux mots pourquoi je pose toutes ces questions... et j'espère vivement que vous me cracherez pas à la gueule en me traitant d'hérétique ou d'élève trop ambitieux.
Il y a quelques jours j'ai posté ici même deux topics, un pour trouver un sujet d'exposé et l'autre concernant ce sujet : les nombres constructibles à la règle et au compas. Donc voilà j'ai trouvé un pdf et un blog qui avec l'aide de wikipédia et d'un peu de patience me permettront de mener mon projet à bien. Cela dit les jours qui suivent je lisait un article essentiellement bibliographique sur le théorème d'incomplétude de Gödel et je me suis dit "Put*** de m***** c'est dingue ce que ça ressemble aux nombres constructibles" en fait y a plein plein d'analogie ! Les axiomes ressemblent aux points de la base, les étapes qui permettent d'aller d'une proposition vraie à une autre ressemblent aux points constructibles à l'étape suivante et les points non constructibles ressemblent aux propositions indécidables. Donc avec mon papier et mon crayon et j'ai essayé de formaliser tout ça. En gros si je mets les axiomes de Peano dans mon P0 et que mon P1 sera tout ce que les combinaisons des axiomes engendrent " " directement " ". Voilà. Et là je comprends que c'est un peu casse-gueule parce que parler de l'intersection de deux cercles c'est easy pareil avec les droites mais parler d'une "première" étape de propositions vraies me semble déjà bien bien dûr à formaliser. Ensuite le problème c'est que comme on est l'algèbre de Boole (je crois) avec les opérations "et" "ou" etc... bin on aura que des anneaux donc la c'est pareil on est foutu : pas de corps, pas d'extension de corps, pas de théorème de Wantzel donc c'est foutu encore. Ensuite imaginer des polynômes en "et" et "ou" et chercher leurs racines du style quand est-ce qu'on dit que B et (A et A) ou C et A ou D est contradictoire (B.A²+C.A+D=0) c'est foutu aussi je pense...
Alors je me suis poser la question de savoir si c'était si simple pourquoi ils en ont fait tout un foin, un problème de Hilbert, un drame mathématique etc... donc voilà je pense que c'est parce que ça se formalise tout simplement pas si facilement ! Mais je trouvais l'analogie jolie ^^. On se fout de la gueule des grecs parce qu'ils pensaient que tous les nombres étaient rationnels et nous on pensait que nos systèmes d'axiomes étaient suffisant pour tout démontrer, donc dans 2000 ans c'est sûr qu'ils se foutront de notre gueule haha.
Voilà voilà merci pour vos réponses !

[Ben314]

A mon sens, c'est pas du tout "stupide", perso, je suis pas sûr que j'aurais été jusqu'à dire qu'il y avait vraiment une "analogie" entre les deux trucs, mais on peut effectivement dire que, dans les deux cas il y a des "truc de bases" qui "grossissent" et qu'on se pose plus ou moins la question de savoir "jusqu'où ils grossissent" (i.e. est ce que tel élément va finir par y être ou pas).
Et si je n'y vois que "moyennement" une analogie, c'est sans doute lié au fait que c'est quand même un type de question qu'on se pose fréquemment dans pas mal de domaines en math (ne serait-ce que tout ce qui est "le machin engendré par")


Et concernant la fin du style "les grecs étaient un peu con" ou "pourquoi ils ont pas trouvé plus vite", y'a plein de réponses :
Déjà, les grecs ils ne voyaient pas du tout les chose de la même façon que nous, par exemple ils n'avaient (quasi) aucun symbolisme pour écrire des équations et pour eux, les maths., c'était (quasi) exclusivement de la géométrie. J'ai lu il y a pas super longtemps que; même vers l'époque de François Viète (vers 1600) où il commençait à y avoir un balbutiement de symbolisme algébrique (utilisation d'un symbole pour écrire l'égalité, de lettres pour désigner des valeurs numériques, etc...) il y a encore bon nombre d'auteurs qui après avoir fait des petites preuves "par le calcul" estimait que c'était plus sûr de proposer aussi une preuve purement géométrique de leur truc : difficile à comprendre de nos jours non ? De même, à cette même époque, pas mal de matheux continuait à refuser les négatifs vu que les grandeurs qu'il manipulaient, ce n'était pas des "nombres" au sens moderne du terme, mais des longueur, surfaces, volumes.
Donc quand on "résume" la pensée des grecs en disant "qu'il pensaient que seuls les rationnels existaient", c'est une façon de traduire approximativement et avec notre vision actuelle des math (très numérique) ce qu'ils pensaient.
Idem pour le reste : on a souvent l'impression (surtout jeune) que les trucs ils sont "facile à trouver", mais on fait fréquemment abstraction du contexte de l'époque (en particulier, très fréquemment, du problème de l'absence de notation pratique pour "parler" de ce que l'on veut étudier) ainsi que du fait que, très très souvent, une fois qu'on a la bonne idée, c'est effectivement très facile, mais que l'idée, il faut l'avoir et que si personne n'a eu d'idée plus ou moins "semblable" avant, c'est pas gagné...

[Archytas]

Oui vous avez raison c'est une analogie pas très très fine mais bon comme j'ai pas trop de recul en maths et que j'étais en plein dans les deux sujets ça m'a heurté comme un bambi sur l'autoroute ! Bon au moins je suis content d'avoir l'esprit clair sur les axiomes et je partage ta même vision de travailler dans des univers différents ! C'est ce que je réponds quand certains fiers d'espérer me faire quitter cette passion stupide qu'est les maths me disent "Et tu fais quoi si un jour quelqu'un démontre ou trouve un théorème comme quoi TOUT ce que vous avez en maths et faux ?" (me dîtes pas qu'on vous l'a jamais faite celle là !??) je leur dis que c'est impossible par construction des maths et que deux matheux ne peuvent arriver à des résultats contradictoires en raisonnant bien qu'en travaillant dans deux systèmes d'axiomes différents (là généralement ils répondent un vague "ah ok" qui veut dire "pitié rentre pas dans les détails je m'en tamponne le coquillage"). Donc je suis heureux de ne pas avoir raconté de la merde aux téméraires qui ont osé me donner du "Dis m'en plus"

[Archytas]

Et concernant la fin du style "les grecs étaient un peu con" ou "pourquoi ils ont pas trouvé plus vite", y'a plein de réponses :
Déjà, les grecs ils ne voyaient pas du tout les chose de la même façon que nous, par exemple ils n'avaient (quasi) aucun symbolisme pour écrire des équations et pour eux, les maths., c'était (quasi) exclusivement de la géométrie. J'ai lu il y a pas super longtemps que; même vers l'époque de François Viète (vers 1600) où il commençait à y avoir un balbutiement de symbolisme algébrique (utilisation d'un symbole pour écrire l'égalité, de lettres pour désigner des valeurs numériques, etc...) il y a encore bon nombre d'auteurs qui après avoir fait des petites preuves "par le calcul" estimait que c'était plus sûr de proposer aussi une preuve purement géométrique de leur truc : difficile à comprendre de nos jours non ? De même, à cette même époque, pas mal de matheux continuait à refuser les négatifs vu que les grandeurs qu'il manipulaient, ce n'était pas des "nombres" au sens moderne du terme, mais des longueur, surfaces, volumes.
Donc quand on "résume" la pensée des grecs en disant "qu'il pensaient que seuls les rationnels existaient", c'est une façon de traduire approximativement et avec notre vision actuelle des math (très numérique) ce qu'ils pensaient.
Idem pour le reste : on a souvent l'impression (surtout jeune) que les trucs ils sont "facile à trouver", mais on fait fréquemment abstraction du contexte de l'époque (en particulier, très fréquemment, du problème de l'absence de notation pratique pour "parler" de ce que l'on veut étudier) ainsi que du fait que, très très souvent, une fois qu'on a la bonne idée, c'est effectivement très facile, mais que l'idée, il faut l'avoir et que si personne n'a eu d'idée plus ou moins "semblable" avant, c'est pas gagné...

Woh woh woh c'était pas là mon idée au contraire je respecte énormément les mathématiciens grecs pour l'ampleur de leur travaux étant donné le peu d'outils théoriques dont ils disposaient et au contraire je critiquais ceux qui auraient pu justement les rabaisser en disant que c'est évident qu'il n'y a pas que des rationnels parce que probablement que dans 2000 ans ce sera tout à fait évident pour un étudiant qu'il y a des propositions indécidables dans tout système d'axiomes récursivement complets (je connais pas trop l'énoncé par coeur haha) et je suis loin de considérer que tout en maths est évident ^^ je ne cesse jamais de m'émerveiller du génie des mecs qu'ont démontré certains théorèmes ! Je me dis que si le monde était constitué de mec comme moi les cours des étudiants seraient composés de plus de conjectures que de théorèmes héhéhé