Cherche thème d'exposé

[Archytas]

Salut, je dois faire une présentation d'algèbre sur un sujet un peu hors programme soit en théorie de Galois, soit en semi-simplicité. J'y connais vraiment foutrement rien là dedans mais j'ai un article du magasine quadrature où ça parle un peu d'extensions de corps donc éventuellement j'ai une roue de secours mais si vous avez des idées (une branche des maths qui s'appuie sur ces théories ou un nom d'un gars super sérieux qu'a bossé sur ça ou un raisonnement élégant fait à base d'une de ces théories) dîtes moi svp .
Voilà,
Bonne soirée

[Robot]

Semi-simplicité de quoi ?

[Archytas]

Dans la théorie des anneaux pardon

[paquito]

Tu peux faire quelque chose avec les nombres hypercomplexes; ça rentre dans les extension de corps, donc ça devrait aller;
On a R[i] avec i² = -1, qu'on connait bien, mais aussi:
R[e] avec et et aussi

R[f] avec et .

Tu as une interprétation géométrique sympa en dimension 2 en prenant les matrices

1= i=

e= et f=

c'est à dire que tu retrouveras les similitudes directes, puis les "projections orthogonales" composées avec une homothéties et enfin les similitudes indirectes ce qui rendra ton exposé plus digeste.
Pour être plus complet, tu trouvera l'article de Luc Sinégre, qui enseigne en spé et est un ami,dans une publication de l'IREM de Rouen: Pourqoi aimer faire des maths au lycée (plein d'articles dont 2 de moi (François Prévost)).
Voici le lien:
[url]https://www.google.fr/search?q=Pourquoi+aimer+encore+les+maths+au+lycée,+IREM+de+Rouen&ie=utf-8&oe=utf-8&g[/url]

Bon courage.

[Archytas]

Merci pour ta réponse !! Je suis désolé mais ça m'a l'air un peu léger pour un niveau master étant donné qu'on a déjà beaucoup parlé d'hypercomplexes (les quaternions, octonions etc)
Mais merci beaucoup pour ta réponse !

[paquito]

Je n'ai donné que l'interprétation permettant de justifier l'existence de e et f; mais après on définit une homographie dont l'exploitation géométrique dépasse largement le niveau master; méfie toi de ce qui peut paraître "hypercomplexe" comme les quaternions qui sont de la rigolade!
Si tu veux travailler sur la théorie de Gallois, ce qui est intéressant, c'est de démontrer que l'équation polynômiale
de degré>4 n'est pas résoluble par radicaux mais c'est bien trop compliqué pour faire un exposé (outre la mise en évidence de sous groupes distingués, il faudrait aussi montrer une méthode générale de résolution pour les degré 3 et 4 (tu connais?) et un exposé tenant la route devrait être étalé sur plusieurs jours!)

[Archytas]

D'accord bon je vais jeter un oeil à ça et le théorème comme quoi les équations de degré 5 et plus ne sont pas solubles par radicaux est un théorème du cours donc je pourrais pas être trop crédible en le présentant ^^'. Pour les équations de degré 3 et 4 je pense qu'on s'éloigne un peu trop du cours, non ?

[Robot]

C'est quoi le cours ?
Il s'agit bien entendu en degré 3 et 4 de faire le lien entre la méthode de résolution et les sous-groupes de S_3 et S_4 respectivement.

[paquito]

Salut Robot,

Ils ne doutent de rien, ces jeunes!

[Archytas]

Beh disons le programme officiel de master concernant les extensions de corps et théorie de Galois.

"Il s'agit bien entendu en degré 3 et 4 de faire le lien entre la méthode de résolution et les sous-groupes de S_3 et S_4 respectivement."

Justement je doute que ça fasse appel aux extensions de corps, si ? C'est de l'algèbre mais s'il ne s'agit pas de quelque chose qui fait appel au cours de près où de loin je suis foutu .

[Robot]

Il n'y a pas de "programme officiel de Master" !
Et quant aux méthodes de résolution, si on fait ça en lien avec les sous-groupes du groupe de Galois, ça a évidemment rapport avec les extensions de corps !

[paquito]

En général, on ne connait la résolution que pour le premier et le second degré; donc démontrer que pour n>4, il n'y aura pas de solution général, c'est une première étape , mais si on ne donne pas une méthode générale pour n=3 et 4, on n'aura rien démontré!

Sinon, je te propose d'étudier le corps des nombres constructibles à la règle et au compas; c'est une extension de degré infinie de qui est strictement comprise entre et . Ca peut déboucher sur le plan se la démonstration de la transcendance de et de .

+ si affinité!

[paquito]

J'ai un vieux poly là dessus, mais il faut que je le retrouve (ma licence date de 1978!). Sinon je te donne un lien sur l'article de Wikipédia qui est bien fait:

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_constructible

[Archytas]

Vous auriez un lien qui donne la méthode de résolution des équations de degré 3 et 4 à l'aide des groupes S3 et S4 ? Quand je cherche je tombe systématiquement sur les méthodes de Cardan et Ferrari

[Robot]

Pas mal de choses sur internet, par exemple
https://math.berkeley.edu/~serganov/114/cubqart.pdf
Sans doute aussi dans les bouquins de théorie de Galois (pas sous la main)

[Archytas]

Wooola désolé d'avoir complètement ignoré vos messages, j'avais pas vu qu'il y avait une page deux et depuis la mise à jour du forum je ne suis plus informé sur ma boite mail quand je reçois un message .
Génial Paquito je vais faire sur ça ! Le monde est bien fait parce que sur mon exposé je vais finir un paragraphe par la trissection de l'angle et on a une équation de degré trois qui est exactement la même que celle qui est étudiée sur le pdf de Robot et on peut ensuite rebondir grâce à la trissection de l'angle au problème de la constructibilité des polygones réguliers en éliminant d'office quelques cas.
Vous êtes parfait, merci