Chemins monotones croissants

[kmi]

bonsoir âmes généreuses,
Comment justifier qu'il existe (n parmi 2n) chemins montones croissants entre deux points d'un repère orthonormé? (dans ce célèbre exercice)
merci!

[leon1789]

Le résultat (n parmi 2n) est particulier aux données de ton énoncé... parcequ'il me semble qu'en général pour passer de à , il y a (a parmi a+b) chemins croissants possibles.

[kmi]

oui précision : on appelle chemin monotone croissant toute suite (Ak) (k=0,1,...,n) de points à coordonnées entières telle que si Ak = (x y) alors Ak+1 = (x y+1) ou (y x+1). A0 l'origine et An l'extrémités.
J'arrive à trouver les résultats en prenant des exemples et je trouve effectivement cette réponse mais je n'arrive pas à la justifier...

[leon1789]

Ainsi tu pars de (0,0) pour aller à (n,n) de manière croissante.

Tes déplacements sont de deux types : un petit coup vers la droite ou un petit coup vers le haut, ok ?

En fait, un chemin contient combien de petits coups vers le haut ? et vers la droite ?

[kmi]

mdr l'histoire des ptits coups (si les maths pouvaient tout le temps être fun...) bref donc n vers le haut et n vers la droite. d'où le 2n. Mais pourquoi n parmi 2n?

[leon1789]

ok, 2n petits coups au total.

Pour définir un chemin de (0,0) à (n,n), il faut suivre une suite de petits coups où chaque est soit "d" (comme droite) soir "h" (comme haut). Ok ?

Deux chemins différents correspondent à deux suites différentes, ok ?

Il n'y a que deux sortes de : si tu imagines un chemin secret et que tu me précises les valant "d", je devinerai facilement ceux qui valent "h" et retrouverai ainsi ton chemin secret, non ?

Conclusion ?

[kmi]

jsuis perdue. en fait faut déjà que je réponde à la question de savoir combien il y a d'extrémités An possibles en partant de A0 et je galère...