Chapitre: espaces vectorielles prehilbertiens reels

[narvalo]

bonjour a tous,
alors voila je rencontre un petit probleme sur un exo de maths....

"On munit R^n de sa structure d'espace euclidien canonique.

1.
Soit a=(a1,a2,.....,an) un vecteur non nul de R^n.
Calculer la matrice dans la base canonique de la projection orthogonal (notée p indice a) sur Vect R (a).

Pour simplifier l'expression de cette matrice on posera s=(la somme de i=1 jusqu'a n) de (a(indice i))^2.

2.
Quelle est la nature de l'endomorphisme Phi(indice a) dont la matrice dans la base canonique est F(indice a)
avec F(indice a)[i,j]= -a(indice i)*a(indice j) si i different de j
ou F(indice a)[i,j]=s-(a(indice i))^2 si i=j.


Merci a tous, et surtout a celui qui arrivera a me debloquer a ce tout petit bout de mon exos. Pour le reste je pense m'en sortir...

Bonne soirée a tous....

[Luc]

Salut,

Pour la première question, écris l'expression de la projection orthogonale sur Vect(a) d'un vecteur coordonnée Ei. Cela te donne directement la i-ème colonne de ta matrice de projection.

Pour la suite, je ne sais pas trop, essaye de calculer phi_a en a pour voir ce que ça donne. Regarde en dimension inférieure (2 ou 3) pour avoir une intuition géométrique.

Bons calculs,

Luc

[Maxmau]

Bj

Le projeté orthogonal de x sur la droite vectorielle
est p(x) = (/||a||²)a
Le projeté orthogonal de x sur l’orthogonal de est
q(x) = x – (/||a||²)a

Matriciellement ( M* désigne la transposée de la matrice M)
Si X est la colonne des coordonnées de X, A la colonne des coordonnées de a, P la matrice de p, on a : PX = (1/A*A)(A*X)A d’où l’on déduit (sans aucun calcul) : P = (1/A*A) AA*
Où A* est la transposée de A (A*A est donc un scalaire égal à la norme de a au carré mais AA* est une matrice nxn)