Chap* integrale de Lebesque!

[fourize]

bonsoir !

je suis entrain de réviser ce chapitre et je rencontre quelques petites subtilités que je vais vous poser comme questions histoire de m'éclairer :zen:

Q:1. que signifie une fonction g est égale à une fonction f presque partout ?

* prenons un exemple:
soit si et sinon
on me demande de déterminer une fonction g IR---> IR, continue telle que
f = g presque partout . comment faire?

merci d'avance de votre aide !

P.S. desolé pour ceux qui m'avaient repondu sur l'autre sujet , je n'ai pas pu
lire vos message à cause d'un problieme de mimetex !

[Nightmare]

Salut,

en fait ça dépend du contexte, mais dans le cadre de la théorie de la mesure, quelque chose est dit vrai presque partout lorsque c'est vrai sauf sur un ensemble négligeable, ie de mesure nulle.

Ici, en particulier, il suffit de prendre la fonction continue et égale à f sauf sur Q, qui est de mesure nulle (car en particulier dénombrable).

[barbu23]

j't'ai dèjà repondu à cette question hier dans ton autre fil ! :happy3:
Tu peux aller y jeter un oeil !
Amicalement ! :happy3:

[fourize]

Bonsoir Nightmare, et barbu23.

très claire, Nightmare. un grand merci !
je passerai poser d'autres questions, en faisant mes TD demain, je pense qu'il en aura certainement

j't'ai dèjà repondu à cette question hier dans ton autre fil ! :happy3:
Tu peux aller y jeter un oeil !
Amicalement ! :happy3:

ah oui barbu23. je faillis t'envoyer un massage privé car je n'arrive pas à lire ce que tu m'as répondu hier ! en effet, il y a eu un souci avec mimetex et le sujet est inaccessible pour moi et certains membre du forum ! Voir l'erreur ICI

* si dans ton poste, il y a pas d'erreur, essaie d'envoyer un message à ton précèdent car je ne peux pas le voir ...

PS. merci de ne pas me répondre sur ce sujet , mais plutôt par message privé ou Ici seulement pour tout ce qui concerne l'informatique !

cordialement,
fourize.

[barbu23]

Voiçi ce que j't'ai écrit hier : :happy3:
La première partie du message :
est agale à presque partout signifie que en dehors d'un ensemble negligeable ( i.e : quant )!
Autrement dit :
:
Attend, je vais t'écrire le reste ! :happy3:

[Nightmare]

Voiçi ce que j't'ai écrit hier : :happy3:
La première partie du message :
est agale à presque partout signifie que en dehors d'un ensemble negligeable ( i.e : quant )!
Autrement dit :
:
Attend, je vais t'écrire le reste ! :happy3:

En fait on peut aussi avoir f(x)=g(x) sur A puisqu'en particulier deux fonctions égales en tout point sont égales presque partout, mais ça n'a pas d'intérêt !

[Nightmare]

Oublier ma remarque, la phrase a été effacée :happy3:

[barbu23]

Pour la suite de ta question : :happy3:
Tu as : .
En effet : est continue.
De l'autre coté :
:
:
et car les singletons sont deux à deux disjoints ! :happy3:

[barbu23]

Pas grave nightmare ! :happy3:

[fourize]

c'est un détail intéressant ... barbu23, je comprends mieu :happy3:

je passe à la suite,
la question suivant demander, de montrer que la fonction f ?
je sais que f si
mais comment procéder pour ce genre de question, calculer l'integrale ?

cordialement ,

P.S. dans une correction ils ont posé et et ils ont fait f = si ça peut aider

[fourize]

re :happy3: voila ce que je propose :

on sait que si

* si
(**)

* si


ma question réside maintenant sur (**).

mais avant d'arriver là, je pense qu'il faudrait que je prouve la convergence de l'intégrale avant de le calculer! (ai je raison ? quelques tuyau si OUI )

revenons à (**): comme on peut le voir, le résultat est inquiétant !
faut il négliger cette première intégrale? si oui pourquoi ?

:happy3:

[Ben314]

* si
(**)

* si

ATTENTION : cela ne vas pas du tout...
Une expression du style "" ne dépend pas de x mais seulement de la fonction f.
Donc écrire si x... alors ... ne veut rien dire.
Par contre, tu peut écrire si et si .
Cela conduit à écrire

[fourize]

merci ben ! j'y ferai attention .
mais avant de rectifier mes erreurs, j'ai quelque points qui m'empêche d'avancer.

dans mon cours j'ai cette formule :
soit A dans B( ) on a
jusqu'à là, tout va bien ... mais

1) est on peut dire puis que (on a bien dX )

2) supposons maintenant,
peut on affirmer que

une fois ces deux points clarifiés, je pense être en mesure de calculer mon integrale ...

[Ben314]

Oui, tout ce que tu affirme est juste.
En ce qui concerne le fait que l'on ait des "" et pas des "", ce n'est qu'un problème de notation : dans ton exercice, la seule mesure considèrée est clairement celle de Lebesgue donc normalement, on devrait mettre des partout.
(Il me semble me rapeller que, normalement, on met des "" pour l'intégrale au sens de Riemann et des "" pour celle au sens de Lebesgue, or ta fonction n'est pas intégrable, même localement, au sens de Riemann, donc il faudrait mettre des partout...)
La troisième propriété que tu donne (l'intégrale sur un ensemble de mesure nulle de n'importe quelle fonction est nulle) est un point extrémement important de la théorie et permet de voir que, si deux fonction sont égales presque partout, leurs intégrales sont égales.

[fourize]

génial :happy3: thank you very much ben !

revenons à la question , je propose ceci:

je prouve la convergence de l'intégrale
f est composée de deux fonctions continue, mesurable, positive. Elles sont intégrables donc f est intégrable .

je calcule l'intégrale


* puisque
*

finalement et donc f

- est ce bien correcte ?

cordialement,

PS. a-t-on le droit d'écrire : (hesitation ...)

[Ben314]

Cela me parrait parfaitement correct.

PS. a-t-on le droit d'écrire : (hesitation ...)

Oui, car, avec le même raisonnement "à l'envers", on a :

[Nightmare]

et car les singletons sont deux à deux disjoints ! :happy3:

Une petite explication avec ça? Déjà la première égalité me va pas, c'est plutôt une réunion à droite. Ensuite il faut dire que Q est équipotent à N pour passer ça sous forme de somme des mesures des singletons.

[fourize]

Ben ! j'aurai du écrire ce détail pour être plus solide ... je comprends de mieux en mieux ,

passons à l'étape suivant :
soit E = {(x,y) | y=0 et }
- montrer que E est un borelien dans IR (c'est fait )
- calculer je trouve par majoration (jusqu'à la tout va bien )

et hop: soit une fonction mesurable positive. calculer
*ce que je propose :
f est une fonction mesurable positive, on a:
= (#)

1) est ce j'ai le droit d'écrire (#) avec seulement ces hypothéses ?
(si oui, est valable si la fonction n'etait pas positive )

2) supposons que , (heureusement ce n'est pas le cas ici)
comment faire pour calculer l'integrale ? (cette mesure multiplier par la mesure de f )
:happy3:

pour Nightmare.
effectivement c'etait union des singletons (pas intersection )

[Nightmare]

Salut !

E est un segment dans le plan donc il est bien sûr de mesure de Lebesgue nulle.

Je vais peut être raconter des bêtises mais, si je note la mesure de Lebesgue unidimensionnelle, on a (en fait, puisque les deux sont compacts, on est même sûr que c'est une égalité) ce qui permet de montrer que la mesure du segment est nulle.

[Nightmare]

Pour la suite,

1) Oui tu as le droit

2) Ben ça dépend un peu de E et de f !