Changement de variables avec des coordonnées polaires

[Rhéa2557]

Bonsoir,
J'ai quelques difficultés avec un changement de variables:
j'ai Z = X² + Y² et théta = Arctg(Y/X) avec (-pi/2 < théta < pi/2)

Je doit effectuer un changement de variable pour obtenir X et Y en fonction de Z et de théta, sauf que je n'ai jamais été très douée avec les coordonnées polaires.
Cette question fait partie d'un exercice de probabilités qui sert d'entrainement pour un examen, aussi j'espère que quelqu'un pourra m'aider.

Merci pour vos réponses.

[MathematicienPoche]

D'accord, donc tu sais que la fonction inverse de Arctg est tan.

Donc theta = Arctg(Y/X) te donne Y/X = tan(theta) ... et ensuite et bien c'est quoi la définition de tan(theta)? C'est tan(theta)=sin(theta)/cos(theta)... et par le même coup tu as x et y.

À noter ce qui est beau dans tout ça, c'est que sin^2(theta)+cos^2(theta) = 1, et donc z=1.

[jlb]

sur que z=1???

[JeanJ]

Bonsoir,
J'ai quelques difficultés avec un changement de variables:
j'ai Z = X² + Y² et théta = Arctg(Y/X) avec (-pi/2 < théta < pi/2)

Je doit effectuer un changement de variable pour obtenir X et Y en fonction de Z et de théta, sauf que je n'ai jamais été très douée avec les coordonnées polaires.
Cette question fait partie d'un exercice de probabilités qui sert d'entrainement pour un examen, aussi j'espère que quelqu'un pourra m'aider.

Merci pour vos réponses.

Attention, en coordonnées cartésiennes, tu as deux paramètres : X et Y
Si tu changes de système, tu dois donc toujours avoir deux paramètres et non pas un seul.
Ainsi, en coordonnées polaires les paramètres sont R (le rayon) et thêta (l'angle).
Tu auras toujours faux si tu oublie R.
Ensuite, c'est simple. Utilise les relations
X = R cos(thêta)
Y = R sin(thêta)
que tu reportes dans la fonction considérée Z = X²+Y²

[MathematicienPoche]

Par contre, dans ce cas précis puisqu'on a Y/X, le rayon ne s'annule-t-il pas toujours?

[othmanB]

[quote="Ariane2557"]Bonsoir,
J'ai quelques difficultés avec un changement de variables:
j'ai Z = X² + Y² et théta = Arctg(Y/X) avec (-pi/2 Y=Xtg(théta)

Alors
et mtn tu pe continué comme ça

[Rhéa2557]

Merci beaucoup pour toutes vos réponses.^^

Donc en faite, on obtient :
X = racine de (z / (1 + tan²théta))
Y = (racine de z . tan théta)/(racine de (1+tan²théta))

Je dois en déduire la loi de probabilité de la variable aléatoire (z, théta), avec X et Y qui sont des variables aléatoires réelles de loi normale de paramètres 0 et 1.
Mais avec les X et Y que je trouve, ça me donne des exponentielles que j'arrive pas à simplifier et une matrice jacobienne que j'arrive tout simplement pas à calculer.

Est ce que quelqu'un aurait une solution.
Merci d'avance.

[chan79]

[busard_des_roseaux]

Qu'est ce que donnent ces formules pour et ?

[chan79]

Oui, si on remplace X et Y par leurs opposés, Z et ne changent pas.

[Rhéa2557]

Au final, je trouve que Z est de loi exponentielle de paramètre (1/2).

Comment on fait ensuite pour calculer la loi de probabilité de racine de Z?

Merci pour vos réponses.