Je suis en pleines révisions, et moi qui pensais avoir tout compris aux changements de base, en voulant résoudre un exercice, je me rends compte que visiblement, ce n'est pas encore ça :hum:
J'ai moi-même inventé l'exercice suivant, si bien que je ne connais pas la bonne réponse (mais peut-être le problème est-il lié à la donnée, du coup ?)
Enfin bref, j'ai le problème suivant :
Soient l'application linéaire g : (x1, x2) --> (x1+x2, x1-x2, 3x1) et les quatres bases suivantes :
b = ((1, 0), (0, 1)) ; B = ((1, 2), (1, 1)) deux bases de RxR
a = ((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) ; A = ((1,3,4), (2,0,1), (1,1,2)) deux bases de RxRxR.
On cherche la matrice de l'application g de la base B à la base A (que je vais noter M[AB](g)
Pour pouvoir vérifier si mes calculs étaient corrects, j'ai voulu résoudre ce problème de trois façons différentes, et c'est là que ça bug : j'ai trois résultats complètement différents
Je vous envoie mes calculs, et tous les bisous du monde à celui qui pourra m'expliquer ce qui est incorrect :ptdr:
Les trois méthodes :
1. M[AB](g) = M[Aa](id)*M[ab](g)*M[bB](id)
2. M[AB](g) = M[Ab](g)*M[bB](id)
3. M[AB](g) = M[Aa](id)*M[aB](g)
Ces trois formules résultent d'un diagramme commutatif que je vous dessinerais bien ici si je savais comment faire ^^
Bon, alors, allons-y :
1.
* A la recherche de M[Aa](id)
On sait que la matrice M[Aa](id) représente un changement de base : elle prend un vecteur de la base a et renvoie le même vecteur exprimé dans la base A. Comme les colonnes de la matrice sont les images des vecteurs de base, on obtient :
1 2 1
3 0 1 = M[Aa](id)
4 1 2
* A la recherche de M[ab](g)
L'application g de la donnée est exprimée en base canonique, c'est-à-dire qu'elle va déjà de la base b à la base a. Et donc, une fois de plus, comme les colonnes de la matrice sont les images des vecteurs de base, on a :
1 1
1 -1 = M[ab](g)
3 0
* A la recherche de M[bB](id)
Cette matrice correspond à un changement de base : elle prend donc un vecteur de base B et le renvoie en base b. J'ai donc deux possibilités pour résoudre :
- soit je pose le système d'équation M[bB](id)*B1 = b1 et M[bB](id)*B2 = b2 et je résouds
- soit je cherche la matrice M[Bb](id) puis je l'inverse.
J'ai trouvé :
1 1
2 1 = M[Bb](id) -->
-1 1
2 -1 = M[bB](id)
* Calcul de M[AB](g)
Enfin, j'ai multiplié ces trois matrices et j'obtiens finalement :
-8 7
0 3 = M[AB](g)
-5 8
Et c'est fini pour la première méthode.
2.
* A la recherche de M[Ab](g)
Cette application prend un vecteur de la base b, y applique g et le renvoie dans la base A.
J'ai donc commencé par calculé g(b1) = (1, 1, 3) et g(b2) = (0, -1, 0). Il ne me reste plus qu'à exprimer ces deux vecteurs en base A. Pour ce faire, je résouds les systèmes d'équation suivant :
x + 2y + z = 1 v + 2w + t = 0
3x + z = 1 et 3v + t = -1
4x + y + 2z = 3 4v + w + 2t = 0
je trouve : (x, y, z) = (-1, -1, 4) et (v, w, t) = (-1, 0, 2)
Encore une fois, comme les colonnes de la matrice sont les images des vecteurs de base, j'obtiens
-1 -1
-1 0 = M[Ab](g)
4 2
* A la recherche de M[bB](id)
On a déjà trouver cette matrice dans la partie 1. A savoir :
-1 1
2 -1 = M[bB](id)
* Calcul de M[AB](g)
Je multiplie ces deux matrices et j'obtiens :
-1 -1
1 -1 = M[AB](g)
0 2
C'est tout pour la deuxième méthode.
3.
* A la recherche de M[Aa](id)
On a déjà trouver cette matrice dans la partie 1. A savoir :
1 2 1
3 0 1 = M[Aa](id)
4 1 2
* A la recherche de M[aB](g)
Cette application prend un vecteur de la base B, y applique g et le renvoie dans la base canonique a. Et donc, comme les colonnes de la matrice sont les images des vecteurs de base, je peux poser M[aB](g) = (g(B1) | g(B2)) et j'obtiens donc :
3 2
-1 0 = M[aB](g)
3 3
* Calcul de M[AB](g)
Je multiplie ces deux matrices et j'obtiens :
4 5
12 9 = M[AB](g)
17 14
Et donc...
Désespoir profond : j'ai trois matrices totalement différentes ! J'ai donc chercher ma faute, en vain. Je sais toutefois qu'il y a un lien entre la méthode 1. et 2., et 1. et 3., à savoir que
M[Ab](g) = M[Aa](id)*M[ab](g)
M[aB](g) = M[ab](g)*M[bB](id)
mais ces propriétés ne sont malheureusement pas satisfaites avec les matrices que j'obtiens. :mur:
Donc, si vous avez eu le courage de suivre jusque là, pouvez-vous me dire laquelle des trois méthodes (s'il y en a une) est correcte et pourquoi les deux autres ne le sont pas ?
Mille fois merci d'avance !
