Challenge!!!

[Alpha]

Salut à tous,


En effet, une méthode qui ne peut prêter sujet à discussion serait d'écrire que
0, 715 715 715...715 avec n fois le nombre 715 est égal à 0,715 * la somme des (10^-3)^k de k=0 à n, à la suite de quoi on explicite la dernière somme à l'aide de la somme des termes d'une suite géométrique, et lorsque l'on fait tendre n vers l'infini, on trouve bien comme limite 715/999.

Il est vrai que mon professeur de maths de terminale nous avait intimé l'ordre de ne pas utiliser la méthode de quinto, mais de rédiger comme je l'ai indiqué précédemment.

Cependant, la méthode de quinto me semble tout à fait correcte, bien qu'elle soit peut-être plus difficile à rédiger correctement, avec une argumentation précise.

En effet, lorsqu'il y a une périodicité dans les nombres, rien n'empêche de multiplier le tout par un certain coefficient, et alors il est clair qu'on a toujours la périodicité, et l'infinité de termes qui est conservée, ce qui permet de faire les manipulations de quinto.

De, plus, méditons sur cette remarque :

pour connaître la somme des termes d'une suite géométrique, on écrit (je prend le 1er terme égal à 1 pour simplifier)

S= 1 + q + q² + ... + q^n
qS= q+ q² + ... + q^(n+1)

et l'on obtient S, et c'est seulement ensuite que l'on fait tendre n vers l'infini.
Et c'est là que l'on remarque que cela revient à employer la méthode de quinto. Car, lorsque l'on a obtenu S et qu'on fait tendre n vers l'infini, cela veut dire que l'on fait tendre n vers l'infini dans S et qS. Ensuite on manipule ces termes avec un n infini et on aboutit au même résultat.

Notons toutefois qu'il est totalement rigoureux de d'abord faire des calculs à partir de nombre finis, puis ensuite de faire tendre n vers l'infini, tandis que la démarche inverse est d'une rigueur plus douteuse, selon moi. Ceci dit, comme la méthode de quinto mène au bon résultat, et qu'elle est intuitivement correcte, je ne peux infirmer sa validité. On peut en revanche la confirmer s'il la démontre dans les règles de l'art.


En ce qui concerne 0,999..., quinto a entièrement raison. (j'ai répondu à cela dans "où est le problème")


;)

Alpha

[thomasg]

C'est un exemple classique de la beauté des mathématiques.
Un prof de collège me l'avait fait présentir en montrant que
1/3+1/3+1/3=1 et que
1/3+1/3+1/3=0,3333....+0,3333...+0,3333.....=0,9999.....
Bien sur cette explication si elle n'est pas valable mathématiquement reste néanmoins une bonne intuition.

Pour ce qui est de la suite, je vais en donner une preuve rigoureuse
(celle que j'ai lue dans cette discussion sur les coupures me semble valable et interessante, et je présente mes excuses à Alpha si je suis redondant avec celle qu'il a déjà donnée)

0,99999.... s'écrit en fait somme(n=1 à inf, 9/10^n)
= 9 somme (n=1 à inf, 1/10^n)
= 9 * lim (n vers inf, 1/10*(1-1/10^n)/(1-1/10)
= 9 *1/10*1/(9/10)=1

au revoir

(si quelqu'un peut m'aider pour l'utilisation de Latex ???)

[mathador]

Salut,
concernant le 0,9999999... = 1 , je me souviens comme si c'était hier de la "démonstration" de ma prof de maths en seconde (mon 1er coup de foudre avec les maths...)
Si on pose 1-0,99999..., on trouve bien sûr 0,00000...1 avec une infinité de zéro, ce qui vaut dont 10^(-oo) (et ce n'est pas qu'une limite!), ce qui fait vraiment 0.
Concernant LaTeX, thomasg, j'avoue pas être à l'aise non plus, mais en cherchant avec google on trouve des petits guides de prise en main assez bien faits : ça peut toujours nous avancer un peu ... un site pas mal :
http://www.tuteurs.ens.fr/logiciels/latex/maths.html
la principale difficulté est que les commandes sont en Anglais : infinity, sqrt pour square root, for all ... mais on a vu pire, non ?

@+

[thomasg]

Bonjour, l'idée de démonstration est en fait la même que celle proposée par quinto, et tout à fait valable,
mais telle que tu l'écris il me semble que les "..." posent problème dans une rédaction rigoureuse.
Au revoir.

[quinto]

Salut,
le 1=1/3+1/3+1/3=0.33333....+0.33333....+0.33333....=0.9999999....

N'est pas rigoureux à cause des ... comme tu le dis.
Cependant, en fait c'est rigoureux si on pose
1/3= somme des 3*10^(-k), k=1..infini

Notamment 3*1/3=1= somme des 9*10^(-k),k=1..infini
Donc en fait je trouve que c'est pas si peu rigoureux que ca.

A+

[thomasg]

La démonstration que tu propose est la même que celle donnée dans mon message précédent, le fait d'utiliser 1=1/3+1/3+1/3 n'apporte rien. Cela complique seulement la démo.

Je maitiens donc que l'intérêt de cette décomposition sert surtout pour l'intuition, car un élève est habitué à voir l'écriture 0,33333333 sur sa machine à calculer.

Cordialement, au revoir.