Centre de symétrie

[mehdi-128]

Bonjour,

On se place dans un repère orthonormé. Soit

La fonction a un graphe qui se déduit de celui de par symétrie par rapport à la droite d'équation (j'ai fait la démo sans souci)

Montrer en utilisant le résultat ci-dessus que si la fonction vérifie : alors le graphe de admet comme centre de symétrie.

Je ne vois pas comment procéder.

[pascal16]

tu pars d'une vision géométrique du fait qu'un point M(x,y) ait pour image M'(x',y') par symétrie centrale de centre (a/2;0).

puis M est un point de la courbe représentative de f implique que ses coordonnées sont du type (x;f(x)).
Il faut que son image M' soit aussi sur la courbe

[FLBP]

Salut,
Une façon de faire est de montrer que pour :

Un changement de variable est c'est fait ...

[mehdi-128]

FLBP trop compliqué pour moi.

Pascal je sais plus comment trouver les coordonnées d'un point image d'une symétrie qui n'est pas de centre l'origine du repère...
Puis je vois pas où utiliser que f(a-x)=-f(x)

[FLBP]

Comme je disais c'est un simple changement de variable :

si :

En changeant juste la lettre en :

[mehdi-128]

Pourquoi la solution d'Aviateur a disparu alors qu'elle était intéressante ?

J'ai pas eu le temps de l'étudier ce matin.

[mehdi-128]

tu pars d'une vision géométrique du fait qu'un point M(x,y) ait pour image M'(x',y') par symétrie centrale de centre (a/2;0).

puis M est un point de la courbe représentative de f implique que ses coordonnées sont du type (x;f(x)).
Il faut que son image M' soit aussi sur la courbe

Pascal je comprends votre raisonnement mais vous partez de la conclusion donc vous faites la contraposée.

Je ne comprends pas du coup : il faut montrer que si alors (a/2,0) est centre de symétrie du graphe de f.

J'ai réussi avec votre méthode mais ça montre la contraposée du coup je sais pas comment faire

[aviateur]

Voilà.
Soit M=(x,f(x)) appartenant au graphe G.
Son symétrique M'=(x',y') par rapport à A=(a/2,0) vérifie
(x+x')/2=a/2, (f(x)+y')/2=0. C'est à dire que x'=a-x et y'=-f(x).
Mais f('x)=f(a-x)=-f(x)=y', ce qui veut dire M' appartient à G.

[mehdi-128]

J'ai compris tout le raisonnement sauf la fin pourquoi le fait que f(x')=y' implique que M' appartienne à G ?

Si est définie sur il faudrait montrer que ?

[nix64]

est un axe de symetrie pour
est un centre de symetrie pour
cherchons les coordonnées de
et y = 0 car y= f(a/2)=-f(a/2)
donc

[mehdi-128]

est un axe de symetrie pour
est un centre de symetrie pour
cherchons les coordonnées de
et y = 0 car y= f(a/2)=-f(a/2)
donc

Belle preuve mais j'ai des choses qui me bloquent.

Si j'ai la fonction alors est axe de symétrie de

Mais ici quelle est la fonction ? J'ai juste une relation :

Du coup comment savez-vous que est axe de symétrie de alors qu'on sait pas qui est f et qu'on a juste une relation ?

Aussi comment montrez vous que est un centre de symetrie pour ?

[aviateur]

J'ai compris tout le raisonnement sauf la fin pourquoi le fait que f(x')=y' implique que M' appartienne à G ?

Si est définie sur il faudrait montrer que ?

@Medhi est ce qu'un jour tu vas faire un vrai effort pour réfléchir?
Tu donnes une fonction définie sur R alors X=R !!!!!!!
Evidemment quand on se pose ce genre de question, il faut que a/2 soit au centre de X. Si ce n'était pas le cas on ne se la poserait même pas la question. Mais de plus X=R!!!!
Il va falloir un jour que tu commences à te poser les vraies bonnes questions et non pas des questions saugrenues.

[nix64]

tu as raison rien ne garantie que est un axe de symétrie pour ni pour on a juste et sont symétriques par rapport à

[mehdi-128]

@Aviateur

L'énoncé est bizarre aussi :

si vérifie

[mehdi-128]

@Nix

D'accord mais vous n'avez pas montré que :

est un centre de symetrie pour

[mehdi-128]

Mais vous avez raison ça ne sert à rien de vérifier que x' est dans X vu que c'est un centre de symétrie de la courbe donc forcément il est au centre de X.
J'appliquais bêtement la définition du graphe d'une fonction qui dit que c'est l'ensemble des (x,f(x)) où x appartient à X qui est le domaine de définition de f.

[aviateur]

Oui c'est ça. Mais essaye de voir les choses a priori.

[mehdi-128]

Pas compris d'où sort l'implication :

est un axe de symetrie pour
est un centre de symetrie pour