Th Cayley-Hamilton : application

par **sue** » 30 Avr 2007, 08:13

Bonjour ,

j'ai découvert y a peu ce joli théorème , je sais déjà que ça aide bcp dans le calcul de l'inverse d'une matrice , on m'a dit que c'est aussi efficace pour le calcul des puissances nième mais je ne vois pas comment .
Pourriez-vous me donner un exemple svp ?

merci
bonne journée :we:

par **fahr451** » 30 Avr 2007, 09:52

bonjour

tu as étudié la diagonalisation ?

par **cyberchand** » 30 Avr 2007, 10:57

Bonjour!

soit A une matrice, P son polynome caractéristique. Alors d'après ce thm, P(A) = 0.
C'est utile pour calculer A^n. On commence par effectuer une division euclidienne :
X^N = P * Q + R.
On évalue en A (en utilisant le fait que l'évaluation d'un polynôme en une matrice est un morphisme d'algèbres) :
A^N = P(A) Q(A) + R(A) = R(A).
Or, R est de de degré < à celui du polynôme caractéristique, tandis que N peut être très grand !

par **sue** » 30 Avr 2007, 12:54

non fahr je l'ai pas étudié , mais si simple à expliquer je suis tout ouie :we:

soit A une matrice, P son polynome caractéristique. Alors d'après ce thm, P(A) = 0.
C'est utile pour calculer A^n. On commence par effectuer une division euclidienne :
X^N = P * Q + R.
On évalue en A (en utilisant le fait que l'évaluation d'un polynôme en une matrice est un morphisme d'algèbres) :
A^N = P(A) Q(A) + R(A) = R(A).

ok jusque là c bon et aprés ? comment on détermine les coeficient de R(X) ?

merci

Ps : au fait fahr peux-tu regarder le post sur la question du groupe , l'existence d'une unique soluce ..etc. la surjectivité est-elle vraiment suffisante ? ça m'intrigue tj :hein: ici .merci

par **fahr451** » 30 Avr 2007, 12:59

heu "simple" c 'est un chapitre fondamental surtout

caley hamilton permet de trouver les valeurs propres et ensuite il faut ( si c'est possible) trouver une matrice D diagonale semblable à A
A = P D P^(-1) d'où A^(-1) = PD^(-1) P^(-1) avec D^(-1) évidente

et A^(n) = P D^(n) P^(-1) avec D^n évidente

rem pour A^(-1) on a aussi le fait que puisque

P(A) = 0 avec P le polynôme caractéristique

A^n + c(n-1) A^(n-1) + ....+ c(1) A + c(0) I = 0 et en factorisant par A (sauf le dernier terme) on a directement A B = In ( à condition que c(0) soit non nul) doncB est l 'inverse de A

par **sue** » 30 Avr 2007, 13:10

heu mais je n'y comprends rien :doh:
y a des termes que je ne comprends pas !
en tt cas je laisse tomber pour le moment cette question de diagonisation , y a trop de taff , je m'informe plus tard .
merci qd meme . (sinon mon ps :we: )

par **cyberchand** » 30 Avr 2007, 15:07

sue a écrit:ok jusque là c bon et aprés ? comment on détermine les coeficient de R(X) ?

R(X) n'est que le reste de la division euclidienne d'un polynôme par un autre : c'est donc du ressort du chapitre Polynômes, et non du chapitre Algèbre linéaire. :we:
Par exemple : X^3 = (X^2 - 1) * X + X, dans le cas où le polynôme caractéristique est X^2 - 1. Le reste est ici X.

par **sue** » 30 Avr 2007, 15:25

oui ok , mais on connait pas Q(X) pour faire la division euclédienne , nan ?

par **sue** » 02 Mai 2007, 08:22

up !

un exemple sur cette méthode ne me fera que du bien !
je comprends pas trés bien :triste:

par **cyberchand** » 02 Mai 2007, 09:10

Il faut faire la division euclidienne de X^n (la puissance à calculer) par le polynôme caractéristique (P). Entraine toi à la faire sur des exemples, parce que c'est vrai que c'est pas évident au début.
http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./d/diveucli.html

Th Cayley-Hamilton : application

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