Cauchy et convergence.

[Als128]

Ouais j'y ai pensé ya 2 minutes... avant de revenir sur le forum. Les suites de cauchy n'existent que dans les espaces métriques, c'est ca?
BRef...
Au temps pour moi !

[mathelot]

bonjour,

les suites de cauchy ne sont pas une notion topologique mais une notion
liée à une distance bien particulière:

il y a un exemple , dans le hauchecorne (contre-exemples) et dans Schwartz
(topologie générale et analyse fonctionnelle) , d'un espace topologique muni de deux métriques,

les deux distances définissent les mêmes ensembles ouverts (la même topologie)
mais n'ont pas les mêmes suites de Cauchy, une suite pouvant être de Cauchy pour la 1ère distance et non pour l'autre distance

d'après ce que j'ai compris, sur l'ensemble des réels par exemple, les différences apparaissent
avec le comportement des distances dans un voisinage de l'infini (toujours lui!)

Pour éviter cet écueil,on s'intéresse à des distances équivalentes,
les deux distances évoquées dans le contre-exemple n'étant pas équivalentes.

remarque: ça me revient, considérer sur R
d1(x,y)=|x-y| et d2(x,y)=|arctan(x)-arctan(y)|
pour d2, les suites tendant vers l'infini sont de Cauchy, pas pour d1.
les topologies sont les mêmes

[ffpower]

Ca me rappelle un exercie que j'avais posté y a quelque temps. Si un espace métrique est complet pour toute métrique équivalente à la métrique initiale, alors l'espace est en fait compact^^