Catégories

[L.A.]

Bonjour à tous.

Je me suis posé la question suivante : peut-on "caractériser" les sous-catégories C de la catégorie des ensembles telles que pour tous objets X,Y de C et tout C-morphisme f : X -> Y, l'image f(X) qui est un sous-ensemble de Y soit aussi un "sous-C-objet" de Y ? (J'entends par là que f(X) est "naturellement" un objet de C et que l'inclusion i : f(X) -> Y est un C-morphisme.)

Par exemple la catégorie C des anneaux vérifie cette propriété puisque f(X) est naturellement un sous-anneau de Y. Mais celà vient de la forme particulière de la catégorie des anneaux puisque un sous-ensemble d'un anneau peut être muni au plus d'une seule structure d'anneau naturelle.

Même question avec les sous-catégories C de ENS telles que f C-morphisme bijectif ssi f C-isomorphisme (i.e. f^{-1} est aussi un C-morphisme) où pour le coup la question du "naturellement" ne se pose plus. Toutes les remarques sont les bienvenues.