Carrés de nombres premiers

[Craw]

Bonjour et bonne année 2024 à tous,

J'ai formulé une conjecture que je trouve intéressante et j'aimerais avoir votre avis.

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Soit un entier naturel > 1, l'indicatrice d'Euler de l'entier , la somme des diviseurs de l'entier et le n-ième nombre premier.

Considérons l'expression
On se concentre sur les cas pour lesquels .

Dans ces cas, il y aurait toujours 2 possibilités :

1) Soit A est premier
2) Soit A n'est pas premier et dans ces cas là on calcule où est un nombre premier.

Il n'y aurait pas d'autres alternatives.

La conjecture a été testée jusqu à n=30 000 000.

Par exemple prenons n=680 on obtient
On a bien mais 3423 n'est pas premier.

Donc on est dans le deuxième cas, à savoir qu'on calcule :


J'aimerais bien savoir si cette conjecture est facilement démontrable ?

[lyceen95]

Ta conjecture est probablement fausse, pour les mêmes raisons que les conjectures précédentes.

Par contre, le résultat suivant est relativement simple à démontrer :
Si n est un entier : si
si A se finit par 03,23,43,63,83,
alors soit A est un nombre premier,
soit est une puissance de nombre premier

Et ce résultat reste vrai si on remplace par ou ou ...
Et ce résultat reste encore vrai si on regarde les entiers qui finissent par 07,11,15,19 ...

[Craw]

Ce que tu formules c'est bien ma conjecture pour le coup. Sauf que tu généralises le concept.
Sais-tu comment démontrer cela ?

[Craw]

Je UP, j'ai prouvé qu'il y a une infinité de carrés de nombres premiers.
Maintenant je ne sais pas comment prouver que soit A est premier soit est le carré d'un nombre premier.
Et plus encore, je ne sais pas prouver ce que tu as généralisé.

La théorie derrière ce résultat doit être intéressante, non ?

[lyceen95]

La démonstration est toute simple.
Les histoires avec et sont sans aucun intérêt..., le résultat que j'évoque, c'est :
si est impair et si est de la forme alors a un seul diviseur premier.
C'est ce résultat là que je te laisse démontrer. Et c'est facile.

Toi, tu regardes les nombres de la forme avec pair () et impair (). Tu regardes donc uniquement certains impairs, mais le résultat est vrai pour tout impair.
Et la terminaison 03 ,23, ... ou la terminaison 19,39 ... tout ça, c'est pareil, c'est 3,7,11,15,19, tous les nombres de la forme .

Et reviens en arrière, rappelle toi pourquoi tu as choisi de regarder et pas ...

Ce résultat n'est pas une généralisation de ta '''conjecture'''. Dans ta '''conjecture''' , tu dis que les seules exceptions sont de type . En vrai, les seules exceptions sont de type .

[Craw]

Merci beaucoup pour cette aide, c'était en effet assez simple.