Carré parfait

[Lutinette18]

Bonjour à tous,

je bloque sur l'exercice suivant :
il faut chercher si dans Z le produit de trois entiers consécutifs peut être un carré parfait.
Je pense que cela revient à montrer que n^3 + 3*n^2 + 2*n = k^2 où k est un entier. Mais je ne vois pas comment partir.

Merci par avance

[leon1789]

il faut chercher si dans Z le produit de trois entiers consécutifs peut être un carré parfait.

La réponse est oui :
-1 x 0 x 1 = 0^2 par exemple.

[MathMoiCa]

Salut !

Je te conseille de prendre les entiers consécutifs de cette manière :
n-1, n, n+1
Le produit est

On veut montrer que c'est un carré parfait.

Il est facile de montrer que n et n²-1 sont premiers entre eux, sauf si .
Ce qui veut dire que si , il faut que n soit un carré parfait et que n²-1 aussi !
Or, n² est déjà un carré parfait. Est-ce possible d'avoir deux entiers consécutifs qui sont carrés parfaits ? Ouaip, il n'y a que deux possibilités dans Z :id:


M.

[leon1789]

Il est facile de montrer que n et n²-1 sont premiers entre eux, sauf si .

n et n²-1 sont toujours premiers entre eux, même pour :zen:

[MathMoiCa]

n et n²-1 sont toujours premiers entre eux, même pour :zen:

Si n=1, alors on a 1 et 0. Or 1 divise 0.
Non ? :hein:


M.

[busard_des_roseaux]

bjr,.


par exemple, si n est divisible par 7, le multiple suivant
est n+7

n et n+1, n+1 et n+2 sont premiers entre eux.

n et n+2 sont premiers entre eux ou sont tous deux pairs.

1) si n est impair, les trois entiers consécutifs n'ont pas
de facteurs premiers communs deux à deux.
Les trois facteurs sont donc tous les trois des carrés,
or la distance entre deux carrés consécutifs et est 2n+1, qui est rapidement plus grande que 2.

[leon1789]

Si n=1, alors on a 1 et 0. Or 1 divise 0.
Non ? :hein:
M.

oui ...et donc .

De manière générale, pour tout , on a et .

[MathMoiCa]

Ah oé :we:


M.

[busard_des_roseaux]

re,

voilà la suite,ç'est la même chose.

si n est pair:

n+1 est premier avec n et avec n+2.
n et n+1 n'ont pas de facteurs premiers en commun
n+1 et n+2 n'ont pas de facteurs premiers en commun

n et n+2 sont pairs,
n=2k et n+2=2(k+1)
k et k+1 sont premiers entre eux.
k et 2k+1 sont premiers entre eux.
k+1 et 2k+1 sont premiers entre eux.

Quiite à diviser par 4 le produit n(n+1)(n+2), on est revenu au cas précedent
avec le produit k(2k+1)(k+1) qui doit être un carré et dont les trois facteurs
sont premiers deux à deux.
d'où k,k+1,2k+1 sont tous les trois des carrés parfaits
or (k+1)-k=1, ça laisse peu de possibilités..

[leon1789]

Tout ça pour répondre << oui, il existe des triplets de nombres consécutifs dont le produit est un carré : 0,1,2 par exemple >>

A moins que la vraie question était de << trouver tous les triplets >>...