Cardinal classe de conjugaison

[hiei]

Bonjour,

Je bloque sur quelque chose d'assez simple.

Il s'agit de montrer que le cardinal de la classe de conjugaison des doubles transpositions dans S6 est égal à 45.

Je commence en constatant qu'il y a 15 transpositions dans S6.

Ensuite, l'idée est de mettre en facteurs ces 15 transpositions en respectant la condition que leurs supports soient disjoints. Comme le cardinal de la classe des doubles transpositions est 45, il en vient qu'il y a 45 façons de mettre en facteurs ces 15 transpositions entre elles pour obtenir 45 doubles transpositions toutes différentes.

Cependant je bloque totalement sur le calcul du cardinal. Je n'arrive pas à comprendre qu'il soit égal à 45, ni comment parvenir à ce résultat.

Merci pour votre aide

[Ben314]

Salut,
Si tu en est à te poser cve type de question, je pense que ça signifie que tu as déjà montré que, dans Sn, la classe de conjugaison d'une permutation donnée, c'est l'ensemble de toutes celle "de même type", par exemple, dans Un Sn quelconque (avec n>=7 bien sur), la classe de conjugaison de la permutation (12)(34)(567), c'est l'ensemble des permutations de la forme (ab)(cd)(efgh) avec a,b,c,d,e,f,g,h, distincte entre 1 et n.

Bref, ici, la classe de conjugaison d'une quelconque double transposition de S6, par exemple (12)(34), c'est l'ensemble des double transpositions (ab)(cd) avec a,b,c,d distincts entre 1 et 6.
Ensuite, il y a 6x5x4x3 façons de choisir a,b,c,d distincts, mais plusieurs d'entre eux donne la même permutation vu que (ab)=(ba) et que (ab)(cd)=(cd)(ba).
On pourrait éventuellement faire un peu de théorie (ce qui serait indispensable si on voulait généraliser), mais dans le cas présent, on peut aussi dresser "à la main" la liste de toute les façons d'écrire la même double transposition :
(ab)(cd)=(ab)(dc)=(ba)(cd)=(ba)(dc)=(cd)(ab)=(cd)(ba)=(dc)(ab)=(dc)(ba)
Soit 8 façons d'écrire la même double transposition et il y a donc (6x5x4x3)/8 = 45 double transpositions distinctes.

Autre méthode (sur le même principe) : si tu te donne 4 éléments a,b,c,d (sans ordre précis), combien y-a-t-il de double transposition distinctes dont le support soit {a,b,c,d} ?
Réponse : Il y en a 3, à savoir (ab)(cd) ; (ac)(bd) et (ad)(bc).
Donc le nombre de double transpositions est 3xbinomial(6,4) = 3x15 = 45.

Et si tu veut paser par les "simples transpositions), c'est pas compliqué non plus : la première transposition, tu as binomial(6,2) façon de la choisir. La seconde, tu as binomial(4,2) façons de la choisir. Sauf qu'en procédant de la sorte, tu as compté deux fois chaque double transposition vu que de tirer (12) en premier puis (34) en second, c'est la même chose que de tirer (34) en premier puis (12) en second. Donc le nombre de double transpositions, c'est binomial(6,2)xbinomial(4,2)/2 = 15x6/2 = 45

[hiei]

Merci pour ta réponse, je pense avoir compris.

Je bloque juste là dessus, me souviens plus comment on trouve ça :

Ensuite, il y a 6x5x4x3 façons de choisir a,b,c,d distincts

[hiei]

Ah, en fait ça se comprend assez facilement en regardant à la main.

[Ben314]

Vu que la grande mode au Lycée ces temps ci, c'est les arbres, le 6x5x4x3, y'a qu'à dire que ça se voit bien sur un arbre : 6 choix pour le premier élément, puis quelque soit ce premier élément choisi, il y a 5 possibilités pour le deuxième (ce n'est pas toujours les mêmes, mais on s'en fout), etc...