j'ai l'exercice suivant:
soit
déterminer le domaine de définition de S, noté D, et montrer que S est C^1 sur D
1) je trouve D = R, pas de problème. dans la suite je me place sur R+ par parité, ou alors metter des valeurs absolues.
2) pour montrer S C^1 on essaie a priori de montrer la CVU de la série des dérivées sur R, avec
- on montre par majoration la CVN sur [a, +infini[, ça ne donne donc que C^1 sur ]0,+infini[
- si on se penche sur la CVN sur R+, on échoue car on trouve que le max de |f_n(x)| , atteint en 1/n , est en 1/n*ln(n) , la série diverge (classique), d'où pas de CVN sur R+
- si on revient à la définition pour la CVU, en regardant le reste, je ne vois pas de majoration qui permette de continuer
- alors je me suis dit comparaison série intégrale dans S'(x), puisque sur ]0,+infini[ c'est la somme des f_n'(x), en vue d'utiliser théorème de la limite de la dérivée (on a facilement S continue en 0)
par la méthode classique on obtient
avec
et là j'essaie notamment majoration en espérant que ça tende vers 0, mais me débarasser du ln est trop grossier...
quelqu'un a une idée pour finir? ou alors quelque chose que je n'ai pas vu?
merci!