CAPES 2012 Epreuve 2

[Ana_M]

Bonjour à tous !

en parcourant le sujet d'épreuve 2 du capes 2012, je bute sur une question qui soit etre toute bête :

Soit n ;) N. On dit que n est primaire lorsqu’il existe un nombre premier p et a ;) N;) tels que n = p^a.
6. Soit n ;) N tel que n > 1 et n ne soit pas primaire.
6.1. Établir qu’il existe deux entiers, que l’on notera n1 et n2, tels que n = n1n2, 1 < n1 < n
et n1 ;) n2 = 1.
On pourra utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers de n.
6.2. Montrer alors que (n1 + n2) ;) n = 1.


pour la 1), si j'écris la décomposition en facteurs premiers de n :
n = p1^(k1)*p2^(k2)...*pr^(kr)
et donc pur n1 et n2 il suffit de prendre la "moitié" ?
et pr le pgcd alors on fait comment ?

2) je ne vois comment développer ce pgcd...


si quelqu'un pouvait m'aider, merci !

[ksavier]

Oui tes pistes sont bonnes

Quand tu dis la moitié, tu as raison de dire "il suffit" car ce n'est pas obligé :
En notant :
On peux choisir et .

:happy2: on peut aussi choisir une "moitié comme tu dis" la question 2) se démontrera de la même façon.

Dans la question 1) pour démontrer que il suffit de remarquer, par exemple, que leur décomposition primale respective n'ont pas de nombre premier en commun (ou utiliser le théorème de Gauss ).

Dans la question 2) on peut envisager une démonstration par l'absurde, si le PGCD des nombres et ne vaut pas 1, c'est qu'ils ont un diviseur supérieur à 1 en commun. Mieux, ils ont donc nécessairement un diviseur premier en commun. notons ce diviseur premier commun.

On montre ensuite que le nombre ne se trouve dans la décomposition primale que de ou de mais pas dans les 2. par exemple on peut choisir qu'il est dans la décomposition de et pas dans celle de .

On montre enfin que si divise et s'il divise alors il divise aussi . Voilà une absurdité !!

Il reste à conclure.

[Ana_M]

Merci pour ces explications !

donc pr la 1)
j'ai compris ta 1ere explication mais par contre je ne vois pas comment utilise le thm de Gauss... !

2)

je n'ai pas trop compris la fin du raisonnement.
comment montrer que p est que dans la décompo de n1 ou que dans n2 ?
juste par ce qu'on a fait avant ? (c'est à dire que n1 et n2 sont premiers entre eux ?)

[ksavier]

Merci pour ces explications !

donc pr la 1)
j'ai compris ta 1ere explication mais par contre je ne vois pas comment utilise le thm de Gauss... !

2)

je n'ai pas trop compris la fin du raisonnement.
comment montrer que p est que dans la décompo de n1 ou que dans n2 ?
juste par ce qu'on a fait avant ? (c'est à dire que n1 et n2 sont premiers entre eux ?)

Salut, oui tu as raison c'est ce qui a été fait avant qui permet de montrer la deuxième question.

En effet, si p est un diviseur de alors p est dans la décomposition primale de où les sont chacun et exclusivement dans la décomposition de ou de (car on a montré que ces deux nombres n'étaient pas constitués des mêmes nombres premiers, j'insiste : signifie qu'ils n'ont pas de nombre premier en commun).
Bref, p divise exclusivement l'un des deux nombres.

Pour démontrer efficacement ce genre de chose, on peut envisager d'introduire une notion de support :

On note l'ensemble des nombres premiers de la décomposition primale de .

A la question 1), on a finalement montré que
Pour la question 2),
on montre que
si un nombre premier p est dans cette réunion, comme il n'est pas dans l'intersection (qui est vide) c'est qu'il est soit dans , soit dans .

J'espère ne pas être trop obscur dans mes explications.

[Ana_M]

Ok, c'est tout à fait clair (il faut dire, je suis rodée tkt pas ;) ))
Merci pour tes explications !
Si j'ai d'autres questions je reviendrai... !