[MPSI] Calculs algébriques et trigonométrie

[Majaspique]

Bonjour,
je viens de rentrer en prépa et j'ai besoin d'aide pour un DM, surtout certaines questions où je ne vois absolument pas quelle(s) propriété(s) utiliser.
De plus, je sais que la rédaction est un point important en prépa et puisque c'est le début de l'année je ne connais aucunement les critères pour bien rédiger.
Merci d'avance pour votre réponse.

Voici les exercices :

Exercice 1 : Récurrences et inégalités
a) Montrer par récurrence que :





Démontrons cette propriété par récurrence :

Initialisation :
Si ,
et
Donc
Donc la propriété est vraie au rang .

Hérédité :
Supposons que pour un certain entier naturel fixé, , la propriété est vraie au rang c'est-à-dire :
Démontrons que cette propriété est vraie au rang c'est-à-dire :



Là je bloque :
- on ne peut pas montrer que car ça n'est pas le cas
- j'ai essayé de réduire le membre de droite mais je n'aboutit pas.

b) Montrer par récurrence que :


Démontrons par récurrence que :
Initialisation :
Si ,
et
Donc
Donc la propriété est vraie au rang
Hérédité :
Supposons que pour un certain entier naturel fixé, , la propriété est vraie au rang c'est-à-dire :
Démontrons que cette propriété est vraie au rang c'est-à-dire :
J'ai essayé deux choses mais je bloque :



Mais bon je ne crois pas qu'il existe de propriété pour simplifier
J'ai aussi essayé :



Et on montrerai que :

Donc que :


Mais là je bloque aussi

Exercice 2 : Une étude d'équation
Soit un nombre réel. Quel est le nombre de solutions réelles de l'équation :

Je vous montrerai mes recherches plus tard.

Exercice 3 : Un peu de trigonométrie
1 °) Soit un réel non multiple entier de . Exprimer :

en fonction de

est un réel non multiple entier de .







2 °) Soit un réel ; on pose pour tout entier non nul :

Déduire de 1° ) une expression simplifiée de . Calculer la limite de la suite






On pose
Pour ,
Pour ,
D'où :




Il doit cependant y avoir une erreur dans le calcul car impossible de faire la limite avec 2 variables.

Exercice 4 : une inégalité trigonométrique
Montrer que :

Ce qui revient à démontrer que
Mais je ne vois pas quelle propriété utiliser pour le démontrer

Exercice 5 :
1 °) Soit un entier naturel au moins égal à 2, calculer :






On pose
Pour ,
Pour ,





2 °) En utilisant , afin de provoquer un télescopage, calculer :





-
On pose
Pour ,
Pour ,
-
-
- 0!

[Ben314]

Salut,
Exercice 1.a) :

Hérédité :
Démontrons que cette propriété est vraie au rang c'est-à-dire :
. . .
- on ne peut pas montrer que car ça n'est pas le cas

Ce n'est effectivement "pas le cas", mais vu que de toute façon, c'est pas ça qu'il faut démontrer (c.f. ton truc bleu), on peut pas dire que ce soit bien gênant...


Exercice 1.b) :Ce qu'il faut te dire, c'est que tu as une hypothèse concernant la valeur de et tu veut utiliser cette hypothèse pour en déduire des choses concernant donc il faut trouver un "lien" entre ces deux trucs.
Et normalement, le "lien" il devrait plus ou moins te "sauter aux yeux" : en utilisant la formule sin(a+b)=...

Exercice 3) 1) :O.K. modulo que à la 3em ligne ton code MimeTeX est pas bon : tu as tapé \2sin(y) à la place de 2\sin(y).
Exercice 3) 2) : C'est faux dés la première ligne : tu as fait comme si on avait alors que c'est
Et concernant la suite, c'est O.K. sur le principe (et effectivement presque tout se simplifie), mais il te manque des facteurs 1/2 à cause de l'erreur ci dessus.
Par contre, à la fin ton truc de deux variable, c'est nul et non avenu : l'énoncé précise explicitement que la variable x est fixée (c'est à dire supposée connue) et que la limite qu'on te demande de calculer c'est lorsque n tend vers +oo (avec x qui "ne bouge pas" et la valeur de la limite qui risque de dépendre du x choisi).

Exercice 4) :Commence par regarder ce qu'on peut dire des deux quantités à comparer : Pour un réel x quelconque, entre combien et combien varie sin(x) ? et cos(sin(x)) ? Idem pour sin(cos(x)).
Ça risque éventuellement d'être suffisant pour conclure et, si ça ne l'est pas, ça va fortement restreindre le problème.
Autre solution : vu que les deux fonctions à comparer sont périodiques de période 2.Pi, commencer par dresser les deux tableaux de variation par exemple sur [-Pi,Pi] pour dégrossir le problème.

Exercice 5.1) : O.K.
Exercice 5.2) :

Ca (en rouge), je comprend pas d'où tu le sort, mais c'est très clairement faux : vu la définition de Wn, à savoir il est complètement évident qu'il est strictement plus grand que .
Et ça

C'est évidement une énorme horreur : 3!=1x2x3=6 c'est absolument pas égal à 2!+1=1x2+1=3.

[Majaspique]

Merci pour votre aide.

Voici ce que j'ai fais :
Exercice 1 :
a)


Démontrons cette propriété par récurrence :

Initialisation :
Si ,
et
Donc
Donc la propriété est vraie au rang .

Hérédité :
Supposons que pour un certain entier naturel fixé, , la propriété est vraie au rang c'est-à-dire :
Démontrons que cette propriété est vraie au rang c'est-à-dire :




On cherche désormais à montrer que , c'est-à-dire que :








Or, et, comme un carré est toujours positif alors : et .
Donc
La propriété est donc vraie au rang .

Conclusion :


Exercice 2 :
On pose,

On détermine les limites de aux bornes de l'ensemble de définition :

car :
et
Je ne vois pas comment lever l'indétermination sur la deuxième limite

On dérive :


On détermine le signe de :
On a :

On pose .
D'où

Or donc l'équation admet deux solutions :







On détermine et :







On peut donc dresser le tableau de variation de :
http://prntscr.com/ks63ar

Et là je galère pour la rédaction du nombre de solution
Exercice 3 :
1°) Corrigé, merci.
2°) J'avais mal recopié l'énoncé, on a bien :
Donc :
On sait que
D'où, pour , on a donc
Donc

Exercice 5 :
b) Pour cette partie, je me suis trompé dans la rédaction en LaTeX, je voulais écrire :
et non -
Donc, si je comprends bien, on ne peut pas développer
On a donc, au final :




On pose
Pour ,
Pour ,




Où y'a-t-il encore des erreurs ?

[aviateur]

Bonjour
C'est pas mal ce que tu fais, énoncé clair et effort de rédaction.
Mais de ma part je pense qu'il serait préférable de poser un exercice par post. En effet c'est pas facile à l'écran de revenir en arrière, alors quand il y a plusieurs exo ça complique.
J'ai regardé le 1) cela me semble correct.
Pour le 2) Il me semble que tu as des difficultés
L'équation s'ecrit f(x)= p et pourtant tu a fait le tableau de variation.
Donc trace l'allure de cette courbe et la droite d'équation y=p pour différentes valeurs de p.
Tu verras facilement alors la réponse selon différentes valeurs de p.

[Majaspique]

Exercice 1 :
b)
Mais je ne vois toujours pas le lien..

Exercice 2 :
Voilà ce que j'obtiens : http://prntscr.com/ksazne
Mais le problème c'est que je ne vois pas comment rédiger ça.
Je suis obligé de chercher l'autre x pour f(x) = 4 et f(x) = -4 ?
Ou alors je dis que pour p = 4, l'équation f(x) = p admet deux solutions, de même pour p = -4.
Que pour p compris entre -4 et 4 (exclus), l'équation f(x) = p admet trois solution
Et que pour p inférieur à -4 ou supérieur à 4, l'équation f(x) = p admet une unique solution?

Pour le 5.b) et le 3.b) c'est bon?

[Pseuda]

Bonjour,

Pour la 1)a), c'est un peu compliqué ce que tu as fait. On peut faire :



et ceci est vrai car .

[Pseuda]

Pour la 1)b) ?

[aviateur]

Bonjour
Ici je ne répond que pour pour le 2)
De toute façon si ton problème c'est la rédaction faire une petit représentation graphique sommaire mais en précisant les valeurs particulières c'est très parlant.
Placer sur le dessin différentes droites y=p représentant les différents cas particuliers.
Avant tout remarquer f est impaire, montre que quand tu connais la réponse pour p positif, cela te donne la réponse pour p négatif par symétrie. C'est pourquoi je n'explique que ce qu'il se passe pour p>=0.

Voici la rédaction: L'étude des variations de la fonctions f et sa représentation graphique nous amènes à considérer les cas suivants

cas 1: p=0. L'équation a exactement 3 solutions réelles (ici les expliciter)

cas 2: p<0<4 L'équation a exactement 3 solutions réelles, (ici les localiser)

cas 3: p=4 L'équation a exactement 2 solutions réelles dont une racine double du polynôme f, (préciser la raine double et alors on peut calculer la troisième racine. A jeter un coup d'oeil, si le calcul est rapide le faire sinon ce n'est pas vraiment demandé je crois)

cas 3: p>4 L'équation a exactement 1 solution réelle (la localiser)

[Sa Majesté]

On dérive :


On détermine le signe de :
On a :

On pose .
D'où

Or donc l'équation admet deux solutions :







On détermine et :

Ça, à mon humble avis, c'est juste une horreur absolue.
Tu poses .
Tu résous l'équation en X (pas besoin de discriminant, l'identité remarquable suffit).
Tu obtiens et (avec des X et pas des x).
Et comme , la 2ème solution n'est pas possible.
Avec , tu as 2 solutions en x : 1 et -1.
Autrement dit, avec un raisonnement faux, tu as trouvé les bonnes racines.

Ce que je ferais :

On divise par 5

On utilise l'identité remarquable

Et encore

Et comme , on trouve le signe de la dérivée facilement.

Mais la fonction que j'étudierais c'est plutôt

[Majaspique]

Merci pour votre aide, j'ai corrigé quelques trucs.

Exercice 1:
b) Montrer par récurrence que :


Voici ce que j'obtiens finalement :

Démontrons par récurrence que :
Initialisation :
Si ,
et
Donc
Donc la propriété est vraie au rang
Hérédité :
Supposons que pour un certain entier naturel fixé, , la propriété est vraie au rang c'est-à-dire :
Démontrons que cette propriété est vraie au rang c'est-à-dire :




En majorant et par , on a :


Donc
La propriété est donc vraie au rang .

Conclusion :


Exercice 2 :
Si j'ai trouvé les bonnes racines c'est parce que j'avais fait un autre calcul mais je me suis dit que c'était plus propre de passer par un polynôme du 2nd degré, mais j'ai effectivement fait une erreur.
De ce fait, en corrigeant tout ça on a :

On pose,

On détermine les limites de aux bornes de l'ensemble de définition :

car :
et
Je ne vois pas comment lever l'indétermination sur la deuxième limite

On dérive :


On détermine le signe de :
On a :





Or, lorsqu'un produit est nul, au moins un de ses facteurs est nul et puisqu'un carré est toujours positif alors, et donc le signe de dépend des facteurs et . On a finalement :


et


On détermine et :







On peut donc dresser le tableau de variation de :
http://prntscr.com/ks63ar

La fonction étant définie et continue sur , on a, d'après l'étude précédente :
Pour , l'équation admet deux solutions
Pour , l'équation admet deux solutions
Pour , l'équationadmet trois solutions
Pour , l'équation admet une solution
Pour , l'équation admet une solution

Exercice 3 :

2 °) Soit un réel ; on pose pour tout entier non nul :

Déduire de 1° ) une expression simplifiée de . Calculer la limite de la suite

On sait que
On pose
D'où






On pose
Pour ,
Pour ,
D'où :




Je ne vois pas comment lever l'indétermination

[Pseuda]

Je ne vois pas comment lever l'indétermination

Bonsoir,

Je n'ai pas lu ce qui précède mais à partir de là, tu peux introduire dans ton expression : et , sachant que ?

[Majaspique]

Mais je ne vois pas ce que tu veux dire par et

[Pseuda]

Je ne vois pas comment lever l'indétermination

Voilà :

[Majaspique]

Je ne comprends pas, on demande bien la limite pour n tend vers +oo donc, pour un x fixé ?

[Pseuda]

Oui, est fixé, tend vers quoi quand tend vers l'infini ? et ?

[Majaspique]

tend vers 0 quand n tend vers +oo.
tend vers 1 quand n tend vers +oo.

[Majaspique]

Je ne vois pas comment tu es passé de à

[Pseuda]

Je ne vois pas comment tu es passé de à

J'essaie de te mettre sur la voie sans te donner la solution.

[Majaspique]

J'ai beau chercher je ne vois vraiment pas quelle propriété tu utilise

[Pseuda]

applique :