Calculs algèbre linéaire, avis aux courageux!

[Bizarre]

Bonjour,

Je ne comprends pas les calculs suivants. J'ai pointé par des couleurs les étapes que je ne comprends pas.

Vert,rouge,bleu,rose. 1)2)3)4) si c'est plus simple



Je galère :/ merci.

[Ben314]

Salut

VERT -> la forme f est n-linéaire alternée ce qui signifie qu'elle change de signe lorsque l'on permute deux vecteurs successifs.

ROUGE -> La forme f est linéaire par rapport à la première variable donc on peut "développer" par rapport à cette variable. Par contre, il y a une faute de frappe, ce n'est pas des qu'il faut lire, mais évidement des

BLEU -> on utilise la linéarité de f par rapport à la deuxième variable, puis la troisième, etc... pour totalement développer l'expression.

Rose -> le fait que f est alterné implique que, si on calcule f(?,?,...,?) avec deux fois le même vecteurs dans la parenthèse, c'est censé être égal à son propre opposé donc c'est nul.
Tu en déduit que les n-uplet (i1,i2,...) contenant deux fois le même nombre ne servent à rien dans la somme et qu'on peu se limiter à sommer sur les n-uplet d'entiers tous distincts, c'est à dire ceux de l'ensemble F.

[Bizarre]

Merci à toi Ben314. J'ai mis en gras ce que je n'ai pas bien saisi...

Salut

VERT -> la forme f est n-linéaire alternée ce qui signifie qu'elle change de signe lorsque l'on permute deux vecteurs successifs.

Je ne vois pas qu'on change deux vecteurs successifs:/

ROUGE -> La forme f est linéaire par rapport à la première variable donc on peut "développer" par rapport à cette variable. Par contre, il y a une faute de frappe, ce n'est pas des qu'il faut lire, mais évidement des

Peut-on m'expliquer par le calcul pourquoi quand on a une application linéaire f à plusieurs variables , alors : f(x1,..., a*xi,....,xn) = a*f(x1,...,a*xi,...xn). Je "croyais" que, par linéarité, c'était plutôt f(a*x1,..., a*xi,....,a*xn) = a*f(x1,...,a*xi,...xn).

BLEU -> on utilise la linéarité de f par rapport à la deuxième variable, puis la troisième, etc... pour totalement développer l'expression.

Si je comprends rouge ça c'est bon

Rose -> le fait que f est alterné implique que, si on calcule f(?,?,...,?) avec deux fois le même vecteurs dans la parenthèse, c'est censé être égal à son propre opposé donc c'est nul.
Tu en déduit que les n-uplet (i1,i2,...) contenant deux fois le même nombre ne servent à rien dans la somme et qu'on peu se limiter à sommer sur les n-uplet d'entiers tous distincts, c'est à dire ceux de l'ensemble F.

Je verrai plus tard

[Ben314]

Juste au dessus du truc VERT, il y a de précisé que les différents "permutent uniquement deux entiers successifs" (il y a encore une faute de frappe : les permutations sont définies plus haut comme des bijections de {1..n} dans lui même donc s'applique à des entiers et pas à des vecteurs)
En particulier permute uniquement 2 entiers donc entre les indices qu'il y a dans la parenthèse avant la marque verte et ceux de la parenthèse après la marque verte, c'est les même sauf deux successifs qui ont été échangés.
C'est donc les même vecteurs à droite et à gauche du = sauf deux successifs qui ont été échangés.

Concernant le truc rouge, attention, ta fonction f n'est pas supposée linéaire, mais n-linéaire ce qui est trés différent.

Par exemple, pour une fonction f:R²->R, on a :

- f est linéaire lorsque f(x+x',y+y')=f(x,y)+f(x',y') et f(a.x,a.y)=a.f(x,y)

- f est 2-linéaire (on dit bilinéaire) lorsque
a) f(x+x',y)=f(x,y)+f(x',y) et f(a.x,y)=a.f(x,y) [i.e. la fonction x->f(x,y) est linéaire quelque soit y]
b) f(x,y+y')=f(x,y)+f(x,y') et f(x,a.y)=a.f(x,y) [i.e. la fonction y->f(x,y) est linéaire quelque soit x]
Je te laisse vérifier que, dans ce cas, on a
f(x+x',y+y')=f(x,y)+f(x,y')+f(x',y)+f(x',y') et pas f(x+x',y+y')=f(x,y)+f(x',y')
f(ax,ay)=a²f(x,y) et pas f(ax,ay)=af(x,y)

EXEMPLES :
Les fonctions linéaires de R² dans R sont celles de la forme f(x,y)=ax+by où a,b sont deux constantes.
Les fonctions bilinéaires de R² dans R sont celles de la forme f(x,y)=cxy où c est une constante.

[Bizarre]

Merci beaucoup!

Juste une petite précision :

Par exemple, pour une fonction f:R²->R, on a :

- f est linéaire lorsque f(x+x',y+y')=f(x,y)+f(x',y')

Peut on aussi dire que f est linéaire lorsque f(x+x',y+y')=f(x,y)+f(x',y') = f(x,y')+f(x',y) ?

[Ben314]

Peut on aussi dire que f est linéaire lorsque f(x+x',y+y')=f(x,y)+f(x',y') = f(x,y')+f(x',y) ?

oui, vu que tu peut écrire (x+x',y+y') sous la forme (x,y)+(x'+y') ou bien sous la forme (x,y')+(x',y).
Mais ça n'apporte rien de nouveau vu que la "formule" f(x+x',y+y')=f(x,y')+f(x',y) n'est autre que f(x+x',y+y')=f(x,y)+f(x',y') dans laquelle on a échangé y et y' (et comme la formule doit être vrai POUR TOUT x,x',y,y', ça ne change rien)