Calculer une intégrale

[SuperPoule]

Bonjour,
En surfant sur youtube, j'ai vu cette intégrale (et malheureusement je n'arrive pas à retrouver la vidéo) :

J'ai essayé plusieurs petits trucs (IPP, changement de variable), mais je n'arrive à rien et du coup j'en viens à me demander si j'ai bien lu...
Auriez-vous une idée ?

[Ben314]

Salut,
Sans trop réfléchir, si pour tu pose alors tu as une première relation triviale et une intégration par partie () va t'en donner une deuxième.
Et je pense qu'avec les deux, tu calcule ce que tu veut (par contre, je sais pas si les sommes obtenues se simplifient bien).

[SuperPoule]

Bonjour Ben314,
OK, merci pour ton aide, je vais voir ce que cela donne.

[Ben314]

En posant (qui est ce que tu cherche), après quelques pérégrination, je trouve que puis, pour qui permet éventuellement d'écrire sous forme d'une somme (finie), mais, à priori, ça ne se simplifie pas franchement. . .
On pourrait aussi utiliser le développement en série entière de pour obtenir une expression du résultat sous forme de série.

[catamat]

Bonjour
Ce qui est amusant c'est qu'après les deux premiers termes non rationnels, on a car dans la formule de récurrence le deuxième terme s'annule.

On peut d'ailleurs le calculer directement par IPP :


On pose
et
on a
et

donc


Finalement tous les , avec k entier non nul, sont des nombres rationnels d'après la formule de Ben314.
Par contre, les termes de rang pair, supérieur à 2, vont contenir

[Ben314]

Oui, c'est un peu étonnant que seul "contiennet" du logarithme. Et je suis pas allé chercher plus loin pour voir s'il y avait une raison simple à ce fait : j'y suis allé tel le bourrin en écrivant les relations de récurrence donnant et en fonction de et puis j'ai tripatouillé pour virer les .