Calculer A^n pour n appartient à N.

[Cambacérès]

Chers amis,
J'ai la matrice
(6 2 0)
(2 2 6)
(-2 -2 4)
On demande:
Calculer A^n pour n appartient à n.
Je bloque complètement
Comment faudrait il faire(?)
Amicalement

[Archytas]

Je pense que le mieux est de trigonaliser ta matrice. Pour ça il faut calculer le polynôme caractéristique et ses racines.

[Cambacérès]

Et on obtient combien du coup(?)

[Archytas]

Tu obtiens quoi comme polynôme caractéristique ?

[Ben314]

Salut,
Perso., pour ce type d'exo, je commence par calculer A^2 et A^3 : au pire, si ça ne sert à rien d'autre, ben ça permettra de vérifier le résultat général que l'on va trouver avec la méthode suggérée par Archytas.
Et dans certain cas, la formule générale saute plus ou moins aux yeux avec les 4 première puissances A^0 (*), A^1, A^2 et A^3 et une simple récurrence suffit à prouver le résultat conjecturé grâce aux premières valeurs.

(*) Se méfier un peu : si la matrice A n'est pas inversible, la formule générale pour A^n, n entier quelconque peut ne pas donner l'identité pour n=0, ce qui est parfaitement logique quand on sait pourquoi on a posé la convention A^0=Identité.

[catamat]

Bonjour

Cambacérés n' a pas l'air d'être intéressé par les réponses, mais j'ai un doute sur la possibilité de triangulation de la matrice.

Sauf erreur de ma part le polynôme caractéristique n'est pas scindé dans R (une seule racine simple), donc soit on se place dans C soit on cherche une autre méthode.

Toutefois les racines dans C ne sont pas trop vilaines, pensez vous que c'était la méthode à adopter ?

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

Scinder le polynôme caractéristique suffit, sans qu'il soit besoin de trigonaliser. On a les trois valeurs propres et les projecteurs spectraux correspondants . Donc


Edit : facteur 2 ajouté devant la partie réelle .

Pas très joli, il faut bien dire.

Ben314 : je suis assez surpris par ton "si la matrice A n'est pas inversible, la formule générale pour A^n, n entier quelconque peut ne pas donner l'identité pour n=0". Même si n'est pas inversible, , donc je ne comprends pas bien. Peux-tu donner un exemple ?

[catamat]

Merci beaucoup Gabuzomeu. Je vais approfondir tout cela.

[Ben314]

Ben314 : je suis assez surpris par ton "si la matrice A n'est pas inversible, la formule générale pour A^n, n entier quelconque peut ne pas donner l'identité pour n=0". Même si n'est pas inversible, , donc je ne comprends pas bien. Peux-tu donner un exemple ?

Je me suis peut être mal exprimé. Pour te donner un exemple trivial, si (non inversible), ce que j'appelle la "formule générale" (dans le précédent post) c'est .
Et ça ne donne pas l'identité pour n=0 (donc ça n'est en fait valable que pour ).
Et, à mon sens, ce n'est pas particulièrement étonnant du fait que la convention x^0=1 n'est pas forcément futée dans le cas d'éléments non inversible d'un semi groupe (des fois oui et . . . des fois non . . .)

[GaBuZoMeu]

D'accord. C'est juste que ce n'est pas la "bonne formule". La bonne formule dans ton exemple, c'est


qu'on trouve à partir des valeurs propres et et des projecteurs spectraux et .
La preuve que ce n'est pas la bonne formule, c'est justement qu'elle ne marche pas pour .

la convention x^0=1 n'est pas forcément futée ...

À mon sens, ce n'est pas une convention, mais la définition de puissance d'un élément dans un monoïde.

[Cambacérès]

Merci beaucoup chers amis!
J'ai calculé comme vous me l'avez demandé les valeurs propres
J'en ai 3: 4, 4-2i et 4+2i.
Les vecteurs propres associés que j'ai obtenus sont pour valeur propre 4:
(-3/2)
(3/2)
(1)
Pour valeur propre 4-2i:
(-1 )
(1+i)
(1 )
Pour valeur propre 4+2i:
(-1 )
(1-i )
(1 )
Je pose comme hypothèse que dans notre matrice
(6 2 0)
(2 2 6)
(-2 -2 4)
Si on remplace 4 par un paramètre m,
On a A^n=
(6 2 0)
(2 2 6)
(-2 -2 m^n)
Qu'en pensez vous chers amis(?)

[Cambacérès]

Merci beaucoup chers amis!
J'ai calculé comme vous me l'avez demandé les valeurs propres
J'en ai 3: 4, 4-2i et 4+2i.
Les vecteurs propres associés que j'ai obtenus sont pour valeur propre 4:
(-3/2)
(3/2)
(1)
Pour valeur propre 4-2i:
(-1 )
(1+i)
(1 )
Pour valeur propre 4+2i:
(-1 )
(1-i )
(1 )
Je pose comme hypothèse que dans notre matrice
(6 2 0)
(2 2 6)
(-2 -2 4)
Si on remplace 4 par un paramètre m,
On a A^n=
(6 2 0)
(2 2 6)
(-2 -2 m^n)
Qu'en pensez vous chers amis(?)

[GaBuZoMeu]

Belle inventivité, qui ne correspond malheureusement à pas grand chose de sensé. As-tu comparé avec ce qui se passe pour de vrai pour n=2, par exemple ?

[Cambacérès]

Merci beaucoup cher GaBuZoMeu, c'est très gentil.
Effectivement, hélas avec A^2 toutes ces hypothèses tombent à l'eau.
Je trouve:
(40 16 12 )
(4 -4 36 )
(-24 -16 4 )
Comme je suis curieux j'ai voulu voir A^3. Nous trouvons:
(248 88 14 )
(-56 -72 120 )
(-184 -88 -80 )
Avec A^4, c'est encore pire...
(1376 384 1184)
(-720 -496 48 )
(-1120 -384 -848)
Je suis déboussolé cher GaBuZoMeu, je ne vois aucun élément reliant ces différents résultats hélas...
Amicalement

[GaBuZoMeu]

Est-ce que c'est vraiment un exercice qu'on t'a posé ? Ça m'étonnerait fort.
Alors, d'où vient cette question ?

[Cambacérès]

C'est vraiment un exercice de mon prof de prépa hélas cher GaBuZoMeu. J'aimerais bien qu'il en soit autrement mais c'est hélas ce qui est donné.

[GaBuZoMeu]

Soit ton prof est sadique, soit il y a erreur d'énoncé.

Je te signale par ailleurs que la réponse figure dans mon message d'hier 22h24.

[Cambacérès]

J'ai regardé aussi pour ma lanterne de 4 étant un paramètre m.
On trouve:
(40 16. 12 )
(4. -4 6m+12 )
(-2m-16 -2m-8 m ^2-11)
On est pas plus fixé snif.
Amicalement

[Cambacérès]

Merci de tout coeur pour cette explication cher GaBuZoMeu!
La solution du message de 23h24 a effectivement l'air correcte.
La fameuse formule du coup c'est bien(?)
A^n=(1/2 2^n- 0^n) × A +0^n × I2.
Est ce que ça marche partout ou il y a des cas particuliers (?)

Amicalement

[GaBuZoMeu]

Ce que tu écris n'a aucun rapport avec le contenu due mon message d'hier 22h24.