Calcule d'une limite
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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Sarra_sonia
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par Sarra_sonia » 04 Jan 2016, 16:03
Bonjour à tous,
Est ce qu'il y a quelqu'un qui peut m'aider comment montrer que
Merci d'avance.
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Robot
par Robot » 04 Jan 2016, 16:13
On peut penser à majorer
.
Pour ce faire, on peut couper le produit en deux morceaux et majorer chacun des morceaux.
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arnaud32
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par arnaud32 » 04 Jan 2016, 16:48
et
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chan79
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par chan79 » 04 Jan 2016, 16:52
arnaud32 a écrit:et
ou alors
n!=1*2*(3*...*n)<2*n^(n-2)
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Robot
par Robot » 04 Jan 2016, 16:55
Et pourquoi pas
?
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nodjim
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par nodjim » 04 Jan 2016, 19:08
Intuitivement tu dirais quoi ?
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Black Jack
par Black Jack » 04 Jan 2016, 19:42
ln(n!/n^n) = ln(n!) - n.ln(n)
ln(n!/n^n) = [ln(n) + ln(n-1) + ln(n-2) + ... + ln(2)] - n.ln(n)
ln(n!/n^n) <= [ln(n) + ln(n) + ln(n) + ... + ln(n)] - n.ln(n)
ln(n!/n^n) <= (n-1).ln(n) - n.ln(n)
ln(n!/n^n) <= -ln(n)
ln(n!/n^n) <= ln(1/n)
n!/n^n <= 1/n
et bien entendu, on a aussi n!/n^n >= 0 -->
0 <= n!/n^n <= 1/n
0 <= lim(n--> +oo) [n!/n^n] <= lim(n--> +oo) [1/n]
0 <= lim(n--> +oo) [n!/n^n] <= 0
lim(n--> +oo) [n!/n^n] = 0
:zen:
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Robot
par Robot » 04 Jan 2016, 19:46
Résoudre l'exercice à la place du questionneur est contraire à la charte du forum.
Et passer par les logarithmes pour montrer
est, comment dirais-je, ...
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nodjim
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par nodjim » 04 Jan 2016, 20:21
Tous les facteurs du produit (1/n)(2/n)(3/n)....(n/n) sont < 1, et le plus petit, 1/n, tend déja vers 0.
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aymanemaysae
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par aymanemaysae » 04 Jan 2016, 20:34
La formule de stirling conduit directement au résultat.
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Pseuda
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par Pseuda » 04 Jan 2016, 20:37
Majorer par n!/n^n par 1/n (et minorer par 0).
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Robot
par Robot » 04 Jan 2016, 20:42
aymanemaysae a écrit:La formule de stirling conduit directement au résultat.
Celui-là (le marteau-pilon pour écraser une mouche), je l'attendais. Il est arrivé. Au fait, James Stirling (1692-1770) a le droit à une majuscule à son patronyme.
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Black Jack
par Black Jack » 04 Jan 2016, 21:37
Robot a écrit:Celui-là (le marteau-pilon pour écraser une mouche), je l'attendais. Il est arrivé. Au fait, James Stirling (1692-1770) a le droit à une majuscule à son patronyme.
Et les répondeurs se passent volontiers de tes commentaires de faiseur de leçons, ici ou ailleurs, toujours aussi désagréable et suffisant.
:zen:
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aymanemaysae
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par aymanemaysae » 04 Jan 2016, 22:06
Merci M. Black Jack d'avoir répondu, car depuis hier après midi j'ai décidé de ne donner aucune suite à de tels commentaires.
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zygomatique
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par zygomatique » 05 Jan 2016, 20:29
salut
de façon très simple on a , en notant p la partie entière de n/2 :
puisque le produit de p + 1 à n est inférieur à 1 ....
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
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nodgim
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par nodgim » 05 Jan 2016, 20:47
Oui Zygomatique, et tu peux aussi te faire plaisir en précisant que p=[n/2] ce qui fait que n!/n^n < 1/2^[n/2].
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Sarra_sonia
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par Sarra_sonia » 09 Jan 2016, 20:44
Merci infiniment pour vos réponses
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