Calcule d'une limite

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Sarra_sonia
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Calcule d'une limite

par Sarra_sonia » 04 Jan 2016, 16:03

Bonjour à tous,

Est ce qu'il y a quelqu'un qui peut m'aider comment montrer que



Merci d'avance.



Robot

par Robot » 04 Jan 2016, 16:13

On peut penser à majorer .
Pour ce faire, on peut couper le produit en deux morceaux et majorer chacun des morceaux.

arnaud32
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par arnaud32 » 04 Jan 2016, 16:48


et

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chan79
Modérateur
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par chan79 » 04 Jan 2016, 16:52

arnaud32 a écrit:
et

ou alors
n!=1*2*(3*...*n)<2*n^(n-2)

Robot

par Robot » 04 Jan 2016, 16:55

Et pourquoi pas ?

nodjim
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par nodjim » 04 Jan 2016, 19:08

Intuitivement tu dirais quoi ?

Black Jack

par Black Jack » 04 Jan 2016, 19:42

ln(n!/n^n) = ln(n!) - n.ln(n)
ln(n!/n^n) = [ln(n) + ln(n-1) + ln(n-2) + ... + ln(2)] - n.ln(n)

ln(n!/n^n) <= [ln(n) + ln(n) + ln(n) + ... + ln(n)] - n.ln(n)

ln(n!/n^n) <= (n-1).ln(n) - n.ln(n)
ln(n!/n^n) <= -ln(n)
ln(n!/n^n) <= ln(1/n)

n!/n^n <= 1/n

et bien entendu, on a aussi n!/n^n >= 0 -->

0 <= n!/n^n <= 1/n

0 <= lim(n--> +oo) [n!/n^n] <= lim(n--> +oo) [1/n]

0 <= lim(n--> +oo) [n!/n^n] <= 0

lim(n--> +oo) [n!/n^n] = 0

:zen:

Robot

par Robot » 04 Jan 2016, 19:46

Résoudre l'exercice à la place du questionneur est contraire à la charte du forum.
Et passer par les logarithmes pour montrer est, comment dirais-je, ...

nodjim
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par nodjim » 04 Jan 2016, 20:21

Tous les facteurs du produit (1/n)(2/n)(3/n)....(n/n) sont < 1, et le plus petit, 1/n, tend déja vers 0.

aymanemaysae
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par aymanemaysae » 04 Jan 2016, 20:34

La formule de stirling conduit directement au résultat.

Pseuda
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par Pseuda » 04 Jan 2016, 20:37

Majorer par n!/n^n par 1/n (et minorer par 0).

Robot

par Robot » 04 Jan 2016, 20:42

aymanemaysae a écrit:La formule de stirling conduit directement au résultat.


Celui-là (le marteau-pilon pour écraser une mouche), je l'attendais. Il est arrivé. Au fait, James Stirling (1692-1770) a le droit à une majuscule à son patronyme.

Black Jack

par Black Jack » 04 Jan 2016, 21:37

Robot a écrit:Celui-là (le marteau-pilon pour écraser une mouche), je l'attendais. Il est arrivé. Au fait, James Stirling (1692-1770) a le droit à une majuscule à son patronyme.


Et les répondeurs se passent volontiers de tes commentaires de faiseur de leçons, ici ou ailleurs, toujours aussi désagréable et suffisant.

:zen:

aymanemaysae
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par aymanemaysae » 04 Jan 2016, 22:06

Merci M. Black Jack d'avoir répondu, car depuis hier après midi j'ai décidé de ne donner aucune suite à de tels commentaires.

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zygomatique
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Re: Calcule d'une limite

par zygomatique » 05 Jan 2016, 20:29

salut

de façon très simple on a , en notant p la partie entière de n/2 :



puisque le produit de p + 1 à n est inférieur à 1 ....

8-)
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

nodgim
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Re: Calcule d'une limite

par nodgim » 05 Jan 2016, 20:47

Oui Zygomatique, et tu peux aussi te faire plaisir en précisant que p=[n/2] ce qui fait que n!/n^n < 1/2^[n/2].

Sarra_sonia
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Enregistré le: 20 Jan 2015, 19:33

Re: Calcule d'une limite

par Sarra_sonia » 09 Jan 2016, 20:44

Merci infiniment pour vos réponses :D

 

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