Calcul d'une matrice à n lignes et n colonnes

[Swayf]

Bonsoir,

Je m'en remets à vous pour essayer de comprendre comment il faut faire avec ce genre de matrices "très longues".

La matrice est la suivante que l'on appellera A : ( 2 1 1 1 ... 1)
(1 2 1 1.....1)
(1 1 2 1.....1)
(1...2 1.......1)
(1...............2)

Voici à quoi ressemble la matrice à l'aide d'une capture d'écran :

Il s'agira alors de calculer en premiers temps : A²-(n+2)*A+(n+1)*I et dans un second temps d'inverser la matrice (grâce à A et I) mais je dois avouer que comme la matrice n'est pas finie, je n'ai aucune idée de comment je dois faire, à moins que je doive passer par des lettres

Je vous remercie par avance et vous souhaite une excellente soirée !

[Pseuda]

Bonsoir,

Tu peux poser , avec matrice composée que de . est facilement calculable ...

[Swayf]

Bonsoir,

Tu peux poser , avec matrice composée que de . est facilement calculable ...

Merci beaucoup pour votre réponse. Je comprends parfaitement le raisonnement mais je vous avoue ne pas savoir quoi faire après .. C'est justement parce que j'ai beaucoup de difficultés sur ce type d'exercices que je me permets de vous demander votre aide en espérant mieux comprendre..

[Pseuda]

. Commence à t'entraîner avec n=2, n=3, ...

[Swayf]

. Commence à t'entraîner avec n=2, n=3, ...

A² = I + n*B + n(n-1)/2 * B² (d'après le binôme de Newton car la condition B*I est validée), est-ce ce que je devais trouver ?

Merci énormément encore pour votre réponse !

[aviateur]

Bonjour
On peut aussi trouver le polynôme annulateur de A de la façon suivante.
C'est clair que 1 est valeur propre d'ordre (n-1) (voir que B est de rang 1) et en utilisant la trace de A la seconde valeur propre est n+1.
De plus (la matrice A étant symétrique donc diagonalisable) on en déduit que le polynôme annulateur de + bas degré (i;e le polynôme minimal) est :
On a bien d'où le calcul de

[Pseuda]

. Commence à t'entraîner avec n=2, n=3, ...

A² = I + n*B + n(n-1)/2 * B² (d'après le binôme de Newton car la condition B*I est validée), est-ce ce que je devais trouver ?

Merci énormément encore pour votre réponse !

Bonjour,

Ouh là, joyeux mélange.

.

Prends . . . Fais-le aussi avec n=3.

De manière générale pour quelconque, on voit que : . Donc . Prends cette expression pour la mettre dans l'autre.
à continuer ...

[Swayf]

Bonjour
On peut aussi trouver le polynôme annulateur de A de la façon suivante.
C'est clair que 1 est valeur propre d'ordre (n-1) (voir que B est de rang 1) et en utilisant la trace de A la seconde valeur propre est n+1.
De plus (la matrice A étant symétrique donc diagonalisable) on en déduit que le polynôme annulateur de + bas degré (i;e le polynôme minimal) est :
On a bien d'où le calcul de

Bonjour,

Je vois mais comment démontrer que c'est bien un polynôme annulateur de la matrice, ça me paraît quelque peu délicat..

[Swayf]

. Commence à t'entraîner avec n=2, n=3, ...

A² = I + n*B + n(n-1)/2 * B² (d'après le binôme de Newton car la condition B*I est validée), est-ce ce que je devais trouver ?

Merci énormément encore pour votre réponse !

Bonjour,

Ouh là, joyeux mélange.

.

Prends . . . Fais-le aussi avec n=3.

De manière générale pour quelconque, on voit que : . Donc . Prends cette expression pour la mettre dans l'autre.
à continuer ...

Veuillez m'excuser pour mon erreur, j'ai l'habitude de travailler sur des matrices à la puissance n et je me suis un peu emmêlé les pinceaux... Je viens de comprendre, merci beaucoup pour votre aide !!

Je vous souhaite une excellente journée

[aviateur]

Je vois mais comment démontrer que c'est bien un polynôme annulateur de la matrice, ça me paraît quelque peu délicat..

Rebonjour, je ne vois rien de délicat ici et c'est même la substantifique moelle des matrices.
La matrice diagonale semblable est est c'est facile de voir que. Il en est de même pour l'endomorphisme sous-jacent donc pour A aussi.

Evidemment on peut faire comme @pseuda a indiqué mais il y a apprendre dans ma solution.