Calcul d'une intégrale trigonométrique

[Lunicator]

Bonjour à tous !

Voilà je me présente car c'est mon premier post

Je suis étudiant en M1 section Cosmos Champs et Particules à l'Université Montpellier II, et je suis actuellement en stage sur un thème d'astrophysique.

Dans une démonstration, je cherche à trouver la primitive d'une fonction qui s'écrit sous la forme f(x) = 1/cos(x)sin^2(x).

J'ai essayé avec la règle de Biot, mais ça me menait à une expression polynomiale assez compliquée et hormis une éventuelle décomposition en éléments simples, je ne vois pas qu'est ce que je pourrais faire sur cette fonction pour expliciter sa primitive.

Est ce que vous auriez une idée intéressante pour calculer cette intégrale autrement ?

Merci beaucoup.

[Pisigma]

Bonjour,
c'est ou

[Lunicator]

Bonjour,

C'est effectivement la seconde expression !

[mathelot]

on doit calculer




On pose

avec
on pose alors

I=

I=

[Black Jack]

dx/(cos(x).sin²(x)) = cos(x)/(cos²(x).sin²(x)) dx

Changement de variable :
Poser sin(x) = t --> cos(x) dx = dt

--> dt/(t²(1-t²))

Avec 1/(t²(1-t²)) = 1/t² + 1/2 * 1/(x+1) - 1/2 * 1/(x-1)

...

[Pisigma]

ou aussi



d'où finalement

[Black Jack]

Dans mon message précédent, lire évidemment :

Avec 1/(t²(1-t²)) = 1/t² + 1/2 * 1/(t+1) - 1/2 * 1/(t-1)

S dt/(t²(1-t²)) = -1/t + (1/2).ln|(t+1)/(t-1)|

S dx/(cos(x).sin²(x)) = -1/sin(x) + (1/2).ln|(sin(x)+1)/(sin(x)-1)|

F(x) = -1/sin(x) + (1/2).ln|(sin(x)+1)/(sin(x)-1)| est UNE primitive de f(x) = 1/(cos(x).sin²(x))

Si on veut toutes les primitives ... on ne peut pas le faire en ajoutant simplement une constante car le domaine de définition de f(x) n'est pas connexe.

Si on veut toutes les primitives, on peut écrire :
F(x) = -1/sin(x) + (1/2).ln|(sin(x)+1)/(sin(x)-1)| + Ck

avec Ck des constantes réelles indépendantes dans les intervalles ]k.Pi/2 ; (k+1).Pi/2[ avec k dans Z.

[Lunicator]

Merci à vous trois pour vos super réponses, étonnamment je pensais que c'était plus compliqué que ça ^^'..