Calcul d'une intégrale

[Stenam]

Bonjour,

je cherche à calculer l'intégrale suivante :

J'ai commencer par multiplié par le conjugué puis séparer en deux intégrales (en montrant que l'une des deux est convergente).
Je souhaiterai ensuite faire un changement de variable sur l'une des deux intégrale obtenue (celle avec le - au numérateur) en t = sin x. Cependant cela semble donner une intégrale divergente : celle de 0 à pi/2 de 1/tan^2 x

Pourriez vous m'aider dans ce calcul s'il vous plais

[Pisigma]

Bonjour,

donc tu cherches

si tu poses

il vient après remplacement

je ne vois pas d'où tu sors

[Stenam]

Bonjour,
voici le détail des calculs :



En multipliant le terme interne par son conjugué, on obtient :



En espérant ne pas avoir créé deux intégrales divergentes, je cherche donc à calculer dans un premier temps :

et c'est de la que viendrait le après changement de variable en sinus, sauf erreur (très) probable de ma part car ce calcul semble louche.

merci beaucoup de ta réponse

[Pisigma]

Oups!! au temps pour moi, mon dénominateur est faux

[catamat]

Bonjour

Quand on a au lieu de passer par la tangente exprimer tout en sinus :



puis utiliser qu'une primitive de est

[Pisigma]

Bonjour catamat,

je l'ai fait aussi mais , sauf erreur de ma part, il y a un problème pour la borne x=0, non?

[Pisigma]

@Stenam: as-tu déjà traité des exemples qui posent le même problème aux bornes?

[Stenam]

Je n'avais pas pensé a faire comme cela. Cependant il faut intégrer entre 0 et pi/2 après le changement de variable, ce qui donne une limite infinie pour ?

Pour information, cette question est tirée d'un oral de polytechnique

[Stenam]

@Pisigma non je n'ai jamais eu le cas d'une borne qui donne un infini lors de l'intégration ... même pour des intégrales impropres

[Pisigma]

je réfléchi , mais peut-être que catamat a la solution

il y a le classique

mais bon, ça ne fait pas vraiment avancer le smilblick!

[catamat]

Ok mon post de tout à l'heure ne règle pas le problème...

En fait je pense qu'il faut intégrer les deux termes de la somme séparément et ensuite transformer la somme pour lever le problème... avec une expression conjuguée...

Jen'ai pas fait mais je crois que cela marche comme cela

[catamat]

Pour la premiére intégrale poser t=sinh(x) avec dt=cosh(x)dx

on a sinh²(x)+1=cosh²(x) etc... même méthode que pour l'autre intégrale

[Rdvn]

Bonjour à tous,
Je n'ai vraiment pas le temps de proposer une solution complète,
mais il me semble que ceci peut être aussi une solution :

en reprenant l'idée de Stenam :
on cherche une primitive de f définie sur ] 0 , 1 [ par f(t) = rc(1+t^2)/t^2
( f étant continue sur ] 0 , 1 [ )
on intègre par parties avec u'(t) = 1/t^2 et v(t) = rc(1+t^2)
même idée pour g avec g(t) = rc(1-t^2)/t^2
on obtient un terme en (rc(1-t^2) - rc(1+t^2))/t
un développement limité permet de voir qu'on a une limite finie en 0 pour ce terme,
il y a d'autres termes en arcsin et argsh mais à priori on a une limite finie en 0 et en 1

sauf erreur de ma part , qu'en pensez vous ?

[Doraki]

Pour décomposer ton intégrale en deux il faut faire en sorte que les deux numérateurs tendent bien vers 0 en 0.
C'est-à-dire de prendre en compte que sqrt(1+t) et sqrt(1-t²) convergent vers 1 et donc de retrancher / rajouter ce 1.



Et là, les deux intégrales sont bien convergentes et peuvent être transformées avec des changements de variable bien choisis en intégrales de fractions rationelles.

Je n'ai pas regardé si on peut le faire sans couper l'intégrale en deux.

[Stenam]

Merci pour toutes vos réponses. J'ai pu essayer les astuces proposées mais, sauf erreur de ma part, à chaque fois le sinus donne une limite infinie en 0 car il se trouve au numérateur.

[Rdvn]

Bonsoir
J'ai trouvé un peu de temps pour prolonger ma première indication
je trouve ,sur ]0,1[
F(t) = (1/2).( m(t) + argsh(t) + arcsin(t) ) avec m(t) = ( rc(1-t^2) - rc(1+t^2) )/t
F(t) tend vers 0 lorsque t tend vers 0 (développement limité)
Pas de problème en 1
comme au départ on intègre une fonction continue sur [0,1] , on peut conclure

[Pisigma]

F(t) tend vers 0 lorsque t tend vers 0 (développement limité)
Pas de problème en 1
comme au départ on intègre une fonction continue sur [0,1] , on peut conclure

@Rdvn: quand tu auras le temps, merci d'avance de bien vouloir me rafraîchir la mémoire sur la méthode utilisée !!

[Stenam]

@Pisigma il a fait une IPP comme expliqué dans son premier message. Mais je ne voit pas comment obtenir du arcsin et du argsh avec cette méthode.

[Pisigma]

je ne calcule que des primitives donc sans me préoccuper des bornes



pour l'IPP, par habitude, j'utilise la formule











dans la 2e primitive on pose
d'où
sauf erreur bien entendu

pour la 2e primitive tu procèdes de la même façon et tu verras apparaître un arcsin

[catamat]

Ok Pisigma en posant t=sh(x) dès le départ je trouve la même chose en utilisant ch² t - sh² t =1