Calcul d'une intégrale rationnelle

[RD04]

Bonjour à tous,

j'ai passé quelque heures à essayer de trouver une solution pour calculer ces intégrales mais je n'y ai pas arrivé.
Voici l'intégrale dont je n'arrive pas à calculer: [img]https://1drv.ms/u/s!Aij4IIuwAHLZgTVCoxOCzvFMU7H9[/img]

et voici l'autre:

[img]https://1drv.ms/u/s!Aij4IIuwAHLZgTTjXtzQUEHIXEep[/img]

(** Partage Onedrive **)

pour celle-ci j'ai utiliser les techniques de décomposition en une somme de fraction partielles pour ensuite pouvoir l'intégrer, mais je n'arrive pas à la bonne réponse:

en premier j'ai réduit le dénominateur en facteurs irréductible : x(x -2)(x^2 + 4)

après, selon la technique, chaque facteur irréductible de degré 1, de la forme (ax + b)^k engendre k fractions partielles et chaque facteurs irréductible de degré 2 engendre des fractions partielles du genre (Ax + B) / (ax^2 + bx + c) , ce qui m'as donné :

(A / x) + ( B / (x - 2)) + ( C*x + D / (x^2 +4))

Ensuite, j'ai mis ces fraction partielles sur dénominateur commun:
A(x - 2)(x^2 + 4) + B(x)(x^2 +4) + (Cx + D)(x - 2)x / (x(x -2)(x^2 + 4))

Puis j'ai réunis les facteurs communs ensemble, ce qui me donne:
((A + B + C)x^3 + (-2A -2C +2D)x^2 + (4B -2C -2D)x -8A ) / (x(x -2)(x^2 + 4))

Puis j'ai utilisé un système d'équations pour trouver la valeur des variables A, B, C et D :

1) 1x^2 = -2A -2C + 2 D

2) 2x = 4B - 2C -2D

3) 8 = -8A

Donc j'ai pu trouver facilement A, mais pour les autres ...
J'ai du égaler le dénominateur avec le numérateur non développé comme suit :

(x(x -2)(x^2 + 4) = A(x - 2)(x^2 + 4) + B(x)(x^2 +4) + (Cx + D)(x - 2)x

et en remplaçant successivement x dans chacun des membres de l'équation précédente par les valeurs qui annulent les facteurs du dénominateur, j'ai obtenu que: B = 1/2
ce qui m'as permis d'évaluer les autres variables en substituant les équations précédentes, ce qui me donne comme résultat:

A= -1
B= 1/2
C= 1/4
D = -1/4

Puis j'ai intégrer les fractions rationnelles en remplacants les valeurs de ces variables et j'arrive au résultat suivant:

(- ln |x|) + ((ln |x - 2|) / 2) + ((ln |x^2 + 4|)/ 8) - (ln|x^2 + 4|/4)

Ce qui me donne comme résultat final : - (ln 3) / 2

[Lostounet]

Salut,
Comment se fait-il que pour la seconde intégrale, en l'absence de bornes, tu trouves un nombre ?
En général, sans bornes "sous-entend" de trouver une primitive de la fonction.

En ce qui concerne la méthode, ce que tu fais me semble correct dans l'ensemble et cela marche à tous les coups: décomposer en éléments simples la fraction rationnelle puis intégrer terme à terme. Il existe des tables de primitives usuelles (il y en a une que tu dois connaitre avec arctangente): je te rappelle que


Pour la premiere, on pourrait constater par exemple, que pour tout x:


La fraction clairement est de la forme u'/u, dont une primitive serait log(u).
La seconde, à peine plus difficile, on peut penser à l'arctangente:



Or en utilisant l'astuce classique, la dérivée de est exactement

Donc une primitive de serait:

Ce qui permet de conclure pour la 1ere.

[Lostounet]

Pour la seconde, je ne trouve pas la même décomposition en éléments simples...

Je trouve pour tout x du domaine,


Pourquoi as-tu 4 coefficients ? Il y a uniquement deux singularités polaires x = 2 et x = 0 sur la droite réelle, en plus ton C devrait être = 0.
Revois ta décomposition; la méthode est aussi classique: la première fraction fera intervenir arctangente et les deux autres le logarithme.

Aussi il existe un bon nombre d'astuces pour ne pas se trimballer des systèmes à 70 inconnues dans des situations pareilles !

[RD04]

Salut,

j'ai utilisé cette technique(en lien OneDrive) pour la décomposition en facteurs de la deuxième intégrale.


https://1drv.ms/u/s!Aij4IIuwAHLZgTbZxMw1nHp2GtWX

C'est pour cela que j'arrive à 4 variables, mais il y a certainement une erreur dans ma démarche.
Merci pour tes explications claire et très rapide!!

[Lostounet]

Ce que je ferais à ta place, en partant de ce que tu as écrit:

Comme souvent, on multiplie les deux membres par x, et on évalue en x = 0, ce qui donne directement:
, donc A = -1

Ensuite, on peut multiplier les deux membres par (x^2 + 4) et évaluer en x = 2i (car (2i)^2 + 4 = 0 !)
Puis ensuite, on évalue en -2i, car aussi (-2i)^2 + 4 = 0

En 2i:
, donc 2i C + D = (4+4i)/(-4-4i) = -1

En -2i:
, donc -2iC + D = (4-4i)/(-4+4i) = -1

En sommant les 2 dernières égalités, 2D = -2, donc D = -1
Aussi, C = 0 , car si D = -1, 2iC -1 = -1 donne directement C = 0 (et oui, les complexes c'est utile !)

Enfin, en multipliant par (x - 2) et évaluant en 2, on trouve:
ce qui donne B = (16)/(16) = 1

En conclusion,
A = -1
B = 1
C = 0
D = -1

Une autre méthode pour trouver C (si on connaît B et A qui sont faciles à trouver): Multiplie les deux membres par x, puis fais tendre x vers l'infini.
Cela donne:


Le terme de gauche tend vers 0, on trouve à la limite 0 = C + A + B
Ce qui signifie C = - (A + B) = 0
Tu peux ensuite évaluer avec n'importe quel x pour trouver D.

[Ben314]

Salut,

Ensuite, on peut multiplier les deux membres par (x^2 + 4) et évaluer en x = 2i (car (2i)^2 + 4 = 0 !)
Puis ensuite, on évalue en -2i, car aussi (-2i)^2 + 4 = 0
En 2i:
, donc 2i C + D = (4+4i)/(-4-4i) = -1
En -2i:
, donc -2iC + D = (4-4i)/(-4+4i) = -1

Là, les trucs en rouge, ça fait quand même "concon" : si le X^2+4, tu le "casse pas" dans C sous la forme (X-2i)(X+2i), c'est à dire si dans ton résultat tu écrit du (CX+D)/(X^2+4) et pas du C'/(X-2i)+D'/(X+2i), ben ça signifie que tu cherche la décomposition de la fraction rationnelle dans R(X) et pas dans C(X) ce qui signifie évidement que les A,B,C,D que tu cherche, sont réels et donc que l'unique égalité 2i C + D = -1 permet de déterminer à la fois C et D.

[Lostounet]

Oui Ben je suis entièrement d'accord.
Seulement, vu que je ne sais pas ce que l'auteur a fait dans son cours, je n'ai pas été précis sur où les coefficients étaient (R ou C). J'ai donc fait un petit mix (redondance).

Il est clair qu'en identifiant partie réelle et imaginaire on y arrive vite. Mais dans tous les cas on y arrive même en faisant concon.