Calcul d'une borne supérieure et d'une distance

[jonses]

Bonjour,

J'essaye de faire un petit exercice où je dois calculer une borne supérieure d'un ensemble et une distance. Je pensais que j'y arriverai sans trop de difficulté, mais finalement je bloque depuis un bon moment.

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Soit l'espace des fonctions continues sur [0,1] à valeurs réelles.

On munit de la norme définie par :

On pose l'application

On pose et

Je dois :

1) justifier l'existence et calculer M= et montrer que

2)Calculer la distance de 0 à


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Pour le 1) l'existence c'est fait, mais je n'arrive pas à déterminer M. j'ai quand même montré que et j'ai voulu montrer que .

J'ai essayé par l'absurde, mais je n'aboutis pas, et j'ai aussi essayé de montrer que pour tout , , mais là aussi je bloque (je n'arrive pas à construire une fonction continue f, tel que et ||f||=1)

Pour la 2) j'ai juste réussi à minorer la distance par 1, et depuis je tourne en rond.



Si quelqu'un peut m'aider svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[Matt_01]

Regarde la fonction continue qui vaut 1 sur [0,1/2-e], qui est une droite sur [1/2-e,1/2] et qui vaut -1 sur [1/2,1].
Pour la 2), si tu as la minoration par 1, il te suffit de trouver une suite de fonctions fn telles que phi(fn)=1 et ||fn|| tend vers 1. Tu pourrais par exemple chercher des fonctions simples (inspirées de celles de la question 1), telles que ||f||=1+e et phi(f)=1.

[mathelot]

On pose l'application

On pose et

Je dois :

1) justifier l'existence et calculer M= et montrer que

2)Calculer la distance de 0 à

soit


continue, affine par morceaux

[paquito]

Ton application est linéaire donc continue, mais A n'est pas un compact; si tu prends , tu vas bien avoir mais. Peut-on faire mieux?

[arnaud32]

Ton application est linéaire donc continue, mais A n'est pas un compact; si tu prends , tu vas bien avoir mais. Peut-on faire mieux?

on n'est pas en dimension finie donc lineaire n'implique pas continue

[arnaud32]

en supposant que et
tu montres assez facilement que:
si sur [0,1/2[ alors
si sur ]1/2,1] alors

tu vas en deduire que f=1 sur [0,1/2[ et -1 sur]1/2,1] ce qui remet en cause la continuite de f

[lionel52]

Si |f| =/= 1, il existe x0 tel que |f(x0)| < 1. Donc un intervalle I = [x0-a,x0+a] où |f(x)| < 1.

Donc

[jonses]

Merci pour vos réponses !

je vois que dans l'ensemble, il fallait construire à la main des applications pour réussir à répondre aux questions. Comme je suis souvent à côté de la plaque sur ce genre de questions, j'ai pas pensé à des fonctions "simples" (type continue et affine par morceaux). (en tout cas pour déterminer M dans la 1))

Sinon je pensais pas que passer par l'absurde pouvais aussi marcher pour la 2). Ou plutôt, j'ai pas été assez doué pour aboutir en passant par l'absurde.

[Ben314]

Ton application est linéaire donc continue...

En dimension infinie c'est faux.

[paquito]

En dimension infinie c'est faux.

Exact: mauvais réflexe!