Calcul d'un temps moyen

[Kruslen]

Bonsoir,

Je m'entraine à faire des exercices sur les variables aléatoires et je n'arrive par à résoudre
le suivant, posé à un oral de CPGE. Voici l'énoncé :

" 5 joueurs forment un pentagone et se passent deux ballons. A chaque tour, un joueur ayant le ballon le
passe au joueur de droite ou de gauche avec la même probabilité. Le jeu s'arrête lorsqu'un joueur reçoit
les deux ballons. Initialement, les deux ballons sont adjacents. Quel est le nombre moyen de coups avant
que le jeu se termine ? "

J'ai introduit les variables dn qui donnent l'écart à l'instant n entre les deux ballons (1 au départ,
2 au maximum et 0 lorsqu'une même personne possède les deux ballons). Mais ensuite, comment
calculer le temps moyen où dn=0 se produit ?

Merci par avance pour votre aide,

Kruslen

[lyceen95]

Raisonner en prenant en compte une seule variable, l'écart, ça paraît une très bonne idée.
Quand l'écart est 1, l'écart au tour suivant peut être 1 à nouveau (P=75%) ou 2 (P=25%)
Et quand l'écart est 2, l'écart au tour suivant peut être 2 à nouveau (50%), ou bien 1 (P=25%) ou bien 0 (P=25%).

Tu dois pouvoir étudier ces 3 suites :
= proba que l'écart soit 0 au tour
= proba que l'écart soit 1 au tour
= proba que l'écart soit 2 au tour
On a les formules de récurrence , etc etc
Et donc on doit trouver une formulation 'explicite' de , et ?

Sinon, tout ceci s'apparente beaucoup aux 'chaines de Markov', et tu devrais trouver des résultats avec ce mot clé.

[tournesol]

De quelle façon le joueur qui joue est il choisi parmi les deux qui ont un ballon ?

[lyceen95]

De ce que j'ai compris, les 2 joueurs qui ont les 2 ballons lancent le ballon en même temps. Donc éventuellement, au 1er mouvement, A lance son ballon à B et B lance son ballon à A. Donc situation 'inchangée'.

Si chaque tour de jeu est constituée d'un lancer de ballon, par un des 2 joueurs qui ont un ballon, peu importe comment on choisit ce joueur, les équations qui s'ensuivent sont exactement les mêmes. Mais elles sont effectivement différentes du scénario que j'envisage.

[tournesol]

il y aurait alors arret du jeu lorsque A et B (A different de B)lancent ensemble à C .
Mais c'est impossible car C est alors hors d'atteinte pour au moins un des deux tireurs.
Ce pb me rapelle celui des philosophes losqu'on éudie les interbloquages dans les systèmes d'exploitation.

[catamat]

il y aurait alors arret du jeu lorsque A et B (A different de B)lancent ensemble à C .
Mais c'est impossible car C est alors hors d'atteinte pour au moins un des deux tireurs.
Ce pb me rapelle celui des philosophes losqu'on éudie les interbloquages dans les systèmes d'exploitation.

Bonjour
Si A et B sont des sommets consécutifs il ne peut pas y avoir arrêt, mais cela peut se produire si ce sont A et C qui lancent tous les deux à B.

Ceci dit j'ai essayé de calculer les termes des suites définies par Lycéen95 et sauf erreur de ma part les formules sont loin d'être simples.

[tournesol]

ce qui rend difficile le pb, c'est que les (écart au tour i) ne sont pas indépendantes
Il est alors difficile de calculer la loi de N (nombre de coups necessaires pour que )

[lyceen95]

@Tournesol
Partant de AB, et avec 5 joueurs ABCDE disposés en cercle (E est voisin de A), on peut avoir au 2ème tour EC et au 3ème tour, D a les 2 ballons si les joueurs sont 'sympas'.

Avec un tableur, ça se résout assez facilement.
Dans un exercice 'Oral', c'est une autre histoire !
On a une matrice de transition entre 2 états successifs. Je crois que la résolution passe par une inversion de cette matrice.

Les premiers tours sont 'aléatoires'. Et très vite, à chaque tour, on a une probabilité très proche de de terminer la partie.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,,
Appelons l'espérance du nombre de coups pour arriver à la fin en partant d'un écart , pour . On a et , système qui se résoud très facilement même à l'oral.

[tournesol]

Merci à toi pour ce rappel de méthode.
Je me suis complètement perdu.
Résultats 12 et 8 confirmés par simulation avec Casio graph 35 + sur 3000 parties: 8,172 et 12,109