bJR?
Cette fonction est tout à fait intéressante. Il faut que tu l'apprivoise.
As tu remarqué qu'elle était impaire ?
Sa courbe représentative, dans le plan, est la réunion de trois composantes connexes (trois "morceaux"). Trace la.
On voit alors que f réalise une 1ère bijection de
]-1,1[ sur
et une deuxième bijection de
sur
Assez curieusement, elle va donc admettre deux applications "réciproques",
et
l'une
, envoyant
sur ]-1,1[
On remarque que ces deux ensembles sont des intervalles (parties connexes)
l'autre
, envoyant
sur
ces deux derniers ensembles ont chacun deux composantes connexes
puisque ce sont la réunion de deux intervalles.
On va voir de plus que
Question calculs:
Le quotient
a le même signe que le trinôme (x-1)(x+1), ie, positif pour |x|>1
pour |x|>1
d'où
en multipliant haut et bas par
, on trouve:
, ie, une cotangente hyperbolique.
pour |x|<1
pour |x|<1
d'où
donc une tangente hyperbolique.
Donc voilà la raison cachée de ces belles propriétés: il y a de la trigonométrie hyperbolique là dessous... :zen: