Calcul suite somme partielle

[Yohan_]

bonjour,


Juste une chose dans un corrigé (jattaque juste les suites la) que je ne comprend pas :

Sn = ln [(1*3)/(2*2)] + ln [(2*4)/(3*3)] + ... + ln [(n*(n+2)) / ((n+1)*(n+1))] =

ln [((1*2*...*n)*(3*4*...*(n+2)) / ((2*3*4*...(n+1))*(2*3*4*...(n+1))]

aprés simplifications : Sn = ln [ (n+2) / (n+1)*2] = ln [ (n+2) / 2n + 2]


Voila moi ce que je comprend pas c'est au niveau de la simplification comment ils font pour trouve le resultat de Sn, si quelqun peut me détailler ceci simplement ce serait cool . Merci :)

[Joker62]

ln(a) + ln(b) = ln(ab)

On rentre tout dans le ln
On voit que l'argument initial de chaque ln est de la forme n*(n+2)/(n+1)²

Donc, on rentre tout dans le ln, on réorganise, on a bien (1*2*3*...*n)*(3*4*5*...*(n+2)) ( On a juste bouger les termes )

Et puis pour le dénominateur c'est pareil, on voit clairement que ça se simplifie.
Enfin réécrit tout s'il faut pour bien voir.

[SimonB]

Sn = ln [(1*3)/(2*2)] + ln [(2*4)/(3*3)] + ... + ln [(n*(n+2)) / ((n+1)*(n+1))] =

ln [((1*2*...*n)*(3*4*...*(n+2)) / ((2*3*4*...(n+1))*(2*3*4*...(n+1))]

aprés simplifications : Sn = ln [ (n+2) / (n+1)*2] = ln [ (n+2) / 2n + 2]

Ben...
, et
.

D'où le résultat (pour la dernière égalité, tu te sers de .

[Yohan_]

moi c'est les simplifications comme a fait Simon la je ne comprend pas, je suis bete peut etre !! comment savoir que ca fait 1 / n +1 et (n+2) / 2 vu que ce sont des multiplications infinies.. j'avais compris sur une opération plus simple avant qu'on se ramenait avec quelquechose comme 1 / n mais la c'est un peu plus complexe, j'aimerais comprendre comment trouver les résultats de simon :hum:

merci

[abcd22]

Bonjour,
Ce ne sont pas des multiplications infinies mais des multiplications de n termes avec n quelconque, ce n'est pas du tout pareil. C'est exactement pareil que quand on a des sommes télescopiques, ici pour la première simplification on fait le produit des avec i variant de 1 à n, si je prends un k entre 2 et n il apparaîtra une fois au numérateur dans k/(k+1) et une fois au dénominateur dans (k-1)/k donc on simplifie par k, comme ça marche avec tous les k entre 2 et n il ne reste plus que le numérateur du premier terme du produit, 1, et le dénominateur du dernier terme, n + 1.