Calcul de somme

[tristan]

Bonjour, j'ai besoin de calculer la limite de la somme



quand n tend vers +infini, avec -1<x<1 et x réel.

J'ai trouvé mais pour ça j'ai été obligé de dériver une première fois la somme puis de multiplier par x pour enfin redériver le tout :s. Je suppose qu'il y'a plus simple ! Quelqu'un pourrait m'aider ? Merci d'avance

[thomasg]

Bonjour,

tout d'abord une remarque: la limite que tu proposes ne me semble pas valable,

en effet pour x>=1 la limite est clairement +infini, le terme général de la série est alors grossièrement divergent.

Pour x<=1, je vais commencer à chercher.

Au revoir.

[tristan]

Désolé, j'ai oublié -1

[palmade]

Pour moi c'est la bonne méthode, et je n'en vois pas de plus simple...!

[quinto]

Salut,
moi non plus je n'en vois pas de plus simple, et surtout il faut la prouver, et ce n'est pas trivial.....

[tristan]

Ok merci. Juste une question, qu'entend tu par il faut la prouver ?

[thomasg]

Tu dois prouver que les opérations que tu effectues sur la série ne font pas varier sa limite.

[quinto]

Salut,
en fait il n'y a aucune raison a priori que la dérivée 3e de ta somme, vale exactement la dérivée 3e de x->1/(x-1).
Ca il faut le prouver, et c'est non trivial.
A+

[quinto]

Bonjour thomasg, je ne comprend pas ta dernière remarque:

"Tu dois prouver que les opérations que tu effectues sur la série ne font pas varier sa limite."

Qu'entends tu par là?

[thomasg]

Je n'ai pas encore réouvert mes livres sur les séries de fonctions (j'ai recommencé à faire des maths depuis mon inscription sur ce site en mai),

mais je me souviens que toutes les opérations sur les séries (dérivation, intégration, sommes, produits etc...) ne passent à la limite que sous certaines conditions.

Cela revient à faire la même remarque que toi sur la validité du raisonnement.

Désolé si je ne suis pas clair (je vais réouvrir mes livres).

A bientôt.

[quinto]

salut,
ok je vois ce que tu veux dire, c'est le terme "opération" qui était ambigu pour moi, dans ta réponse.
Maintenant c'est plus clair, et je rejoins ton point de vue.
Merci.
A+

[tristan]

D'accord je vous remercie. Mais je n'aborderais les cours sur les séries de fonctions que l'année prochaine (ou dans deux ans je ne suis pas très au courant du programme de prépa).

Etrangement l'exercice est issu d'un livre de mathématiques de terminale. Empiriquement j'ai constaté sur plusieurs nombres que la limite fonctionne mais je ne peux guère faire plus.

[lasaid]

j'ai trouvè une mèthode plus compliquée que la votre TRISTAN en utulisant logarithme néperien et UNE disjonction de cas.
je veux bien que tu éclairci plus la votre si c'est possible :o

[tristan]

Avec ln !?

[quinto]

De quelle année date ton bouquin?
Les séries de fonctions ne se traitent qu'en bac+2 en général.
Le problème est que si tu te donnes une suite de nombres réels, tu n'as qu'un seul mode de convergence possible (grossièrement, si on se restreint à R comme espace normé, je ne veux pas entrer dans d'autres considérations).
Si tu te donnes une suite de fonctions, tu as une convergence très naturelle qui s'impose, mais elle ne conserve aucune ou presque, des propriétés que tu connais par passage à la limite. On a une infinité d'autres possibilité de convergence pour les fonctions, le problème est de savoir laquelle on se donne.

Il y'en a une qui a l'avantage de conserver certaines propriétés (continuité, intégrabilité, dérivabilité sous certaines hypothèses etc), mais elle est difficile à étudier.

Les séries entières, c'est à dire les séries du type
somme de a_k*X^k a_k étant un réel (ou complexe) ont le bon gout d'avoir toujours cette convergence propre, dès lorsque que la série numérique
somme des a_k*xo^k pour un xo fixé non nul. Et la convergence s'effectue toujours sur un disque ouvert dans C (eventuellement sur certains / tous points du bord du disque).
Il se trouve que sur ce disque, tu peux dériver ou intégrer sans te soucier de ce que tu fais ou non, mais ca il faut le prouver et ce n'est pas évident.
Notamment la dérivée de la série est la série des dérivées terme à terme.
A+

[lasaid]

l'explication est si simple puisque x est compris entre un et moins un avant d'utiliser logarithme faut nous assurer que son usage est permis et c'est pour cette raison j'ai eu recours a une disjonction de cas et pour le log je l'ai utilisé pour faciliter les calculs.mais est ce que tu peux m'expliquer ta méthode ;)

[tristan]

Merci quinto même si mes connaissances en math ne me permettent pas de comprendre le fond de ton explication. Le livre en question est le bouquin "analyse" de chez vuilbert, classe de terminale. Le bouquin est signé Warusfel Attali Nicolas et de deux autres inspecteurs d'académie mais j'ai remarqué à plusieurs reprises qu'ils perdaient un peu de vue le programme (voir completement).

[lasaid]

tristan je suis de ton age et de ton niveau dans quelle lycée vous allez vous inscrire pour les prépas mpsi

[quinto]

Le fond de mon explication est simple, dans R tu n'as qu'une seule définition possible de la convergence (grossièrement).

Si tu te donnes une suite de fonctions, comme (fn)=(x^n) par exemple sur [0,1].
Comment définirais tu la convergence de la suite de fonctions (fn)?
On touche très très legérement à ça en terminale et c'est très caché, on le fait à travers les intégrales notamment parce que ca ne demande pas trop de connaissances.

Le fond de l'histoire est caché là dedans:
"comment définie la limite de la suite (fn)"

Notamment lorsque tu fais une somme infinie, ce n'est rien d'autre qu'une limite de sommes, on se ramène donc à un tel cas de définition de convergence.

A+

[tristan]

Je pense comprendre, merci encore.