Calcul de E(XY) sachant que 3x+y<3

[Lenaduvivi]

Bonsoir !

J'ai une fonction de densité à deux variables : si x>0, y>0 et 3x+y<3, et sinon ; comment calculer E(XY)?
Je sais le faire quand on a des bornes biens définies, mais là je suis un peu perdue... Ma première intuition était de mettre la condition dans l'intégrale de x ( donc )
ce qui donnerait donc. Mais je me suis rendue compte quand ça pose problème dans l'intégrale de x dès lors que y>3.
Je cherche donc quelqu'un qui peut m'éclaircir, car je ne comprends vraiment pas comment intégrer la condition que 3x+y<3 aux bornes.

Merci pour votre aide.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
As-tu dessiné le support de la fonction de densité, c'est-à-dire le domaine du plan décrit par les inégalités ?
Pour t'entraîner à calculer l'espérance de , tu peux déjà vérifier que la fonction qu'on te donne est bien une densité de probabilité, en intégrant sur ce domaine. Après, pour calculer l'espérance demandée, il te faudra intégrer .

[Lenaduvivi]

bonjour, merci pour votre réponse.
Si je dessine la fonction de densité, il me semble qu'elle est triangulaire, avec x l'abscisse qui va de 0 à 1 et y l'ordonnée qui va de 0 à 3.
Je ne suis pas sûre de ce que vous voulez dire quand vous dites intégrer sur ce domaine. Car si j'intègre en prenant en compte seulement 0<x<1 et 0<y<3 alors j'omets la condition 3x+y<3, car si par exemple x=0,5 et y=2 alors 3x+y = 3,5 ce qui est supérieur à 3.
Donc si je veux intégrer sur ce domaine, je dois prendre en compte la condition, mais je ne comprends justement pas comment l'intégrer dans les bornes. Je ne sais pas si c'est très clair je m'en excuse

[GaBuZoMeu]

Pas très clair, non.
Pour intégrer sur le triangle de sommets , et , tu peux intégrer pour allant de à , puis pour allant de à . Non ?

[Lenaduvivi]

Effectivement. C'est vraiment bête d'avoir bloqué sur quelque chose de pas si compliqué, je crois que ça veut dire qu'il est temps que je fasse une pause... En tout cas, merci d'avoir pris le temps de me répondre.