Calcul de racinde de 2 avec la méthode de newton

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Viko
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Calcul de racinde de 2 avec la méthode de newton

par Viko » 20 Juil 2017, 18:10

Bonjour,

j'aimerai calculer une approximation à de à l'aide de la méthode de newton, j'ai donc montré que :

est la suite défini par

puis j'ai tenté de résoudre avec bien évidement et
Hélas je rencontre quelque problème :
Quel est l’intérêt de cette méthode puisque approximer demande de connaître sa valeur au préalable ?
Lorsque j'essaie de résoudre l'équation je trouve une valeur complexe pour n , mis suis-je mal pris ? où sa viens du fait que avec les valeur de l'énoncé ?

Merci d'avance
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Re: Calcul de racinde de 2 avec la méthode de newton

par Lostounet » 20 Juil 2017, 18:20

Salut Viko,

Je n'ai pas encore lu tes calculs, mais il faut qu'on soit au clair sur le théorème de Newton que tu emploies (il existe au moins deux variantes de cette méthode d'approximation).

En effet, une de ces méthodes possède un inconvénient: on doit pas être "trop loin" de la solution de l'équation f(x)=0. L'autre variante utilise des critères plus précis pour garantir la convergence de la suite (décroissante et minorée).

Faisons donc par étapes..?
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Re: Calcul de racinde de 2 avec la méthode de newton

par Viko » 20 Juil 2017, 18:32

Je ne saurais pas répondre à ta question l'exercice est simplement intitulé "calcul d'une racine carrée par la méthode de newton" j'ignorais qu'il existait plusieurs méthode, en revanche il résulte des questions précédentes que :
est bien défini et à valeur dans
si on pose on a : lorsque x décrit et dés lors que
est décroissante
et
je ne sais pas si sa t'aide à détrerminer de quel méthode il s'agit
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Re: Calcul de racinde de 2 avec la méthode de newton

par Lostounet » 20 Juil 2017, 18:39

Viko a écrit:Lorsque j'essaie de résoudre l'équation je trouve une valeur complexe pour n , mis suis-je mal pris ? où sa viens du fait que avec les valeur de l'énoncé ?

Merci d'avance


Tu veux dire l'inéquation.
Pourquoi n>=3 ne convient pas par exemple ?

Il me semble comme tu le dis que la quantité
(U0 - V2)/(U0+V2) doit être comprise entre -1 et 1, ce qui est réalisé dès que U0>0

Je ne sais pas si c'est ça ta question..?
On est d'ailleurs bien embêtés si U0=0 non? On reste immobiles. Ou bien si U0<0 et dans ce cas que se passe-t-il selon toi?

Le but est de passer à la limite dans ton inégalité large.
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Re: Calcul de racinde de 2 avec la méthode de newton

par Viko » 20 Juil 2017, 19:19

Oui je voulais dire inéquation, n > 3 convient sûrement mais mon problème n'est pas là il apparaît lorsque je tente de résoudre
avec et en effet pour résoudre cette inéquation j'applique deux fois la fonction logarithme pour isoler n mais malheureusement comme on va inévitablement se retrouver face à des logarithme avec des arguments négatifs et donc des nombres complexes ma question est donc est-ce ma technique de résolution qui pêche ? ou est-ce qu'il faut changer la valeur de pour résoudre le problème ? ou bien ai-je tout simplement fait une erreur lors de la résolution ?
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Re: Calcul de racinde de 2 avec la méthode de newton

par Lostounet » 20 Juil 2017, 19:41

Ah... Ok je crois comprendre ton problème.

Tu as dû utiliser la propriété ln(a^b)=b × ln(a) mais ce n'est pas valable pour tous nombres a et b!
C'est comme pour la racine carrée, racine( (-1)^2) n'est pas égale à (-1) mais à -(-1)).

Parler de ln[ (1-V2)/(1+V2) ^(2^n)] a un sens car ce qu'il y a à l'intérieur est toujours positif car 2^n est entier positif et le nombre est non nul) Par contre tu ne peux pas sorter le 2^n comme ça: tu prends l'opposé (comme pour la racine!)

ln(a^b)=b ln (|a|)
b est un entier positif of course

Pas de logarithme complexe en jeu.
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Re: Calcul de racinde de 2 avec la méthode de newton

par Viko » 20 Juil 2017, 19:43

Mais bien sûr ! Merci beaucoup !
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Re: Calcul de racinde de 2 avec la méthode de newton

par aviateur » 20 Juil 2017, 20:02

Bonjour, La question ici m'amène à demander une précision.
A-t-on le choix de u_0? et deuxième question , une fois que l'on sait que u_n cv vers r=\sqrt{2} est-ce que l'on veut une majoration de l'erreur |u_n-r| de sorte que l'on soit puisse trouver n telle que l'on ait la précision souhaité.
Maintenant, il n' y a pas vraiment 2 méthode de Newton différentes, c'est à dire que l'itération est de la forme u_ {n+1}=g(u_n) et la fonction g est unique.
Par contre la convergence ou non vers r dépend évidemment du choix de u_0.
En effet si u_0=0 cela ne marche pas, si u_0<0 il y a des chances que cela converge vers -r.

Ce qu'il se passe c'est qu'il y a un théorème qui dit que (je l'énonce de "façon littéraire" i.e vulgarisée ) sous certaines hypothèses de régularité de la fonction f, il existe un voisinage de r tel que si
u_0 est dans ce voisinage alors la suite u_n converge vers r et de façon quadratique.

Le problème est que de façon générale le voisinage n'est pas connu, il peut être petit ou grand.
Dans la pratique on essaie de voir dans quel domaine on peut choisir u_0. C'est pour cela que @lostounet pale de plusieurs méthodes.

Maintenant il y a des cas standard comme ici. la fonction f(x)=x^2-2 est croissante et convexe sur ]0,infty[
alors (faire un dessin ) il est judicieux de prendre u_0>r. Par exemple u_0=2 ou mieux u_0=3/2.

Maintenant si on prend u_0 ds]0,r[ on voit comme viko l'a dit que u_1>r est on est repssé au dessus de rla suite va alors décroitre vers r (mais on a perdu une itération.

Remarque quadratique veut dire que dès que l'on est assez proche de r le nombre de décimale double à chaque fois . Par exemple u_0=3/2=1.5 (alors que r=1.4...) on a e_0\approx 0.1.
A l'étape suivant on peut espérer une précision de 2 décimales puis 4 puis 8 puis 16.

 

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