Calcul propositionnel élémentaire

[jsr]

Bonjour,

quelqu'un pourrait-il me donner la démonstration pas à pas de la proposition suivante :

(A ET B) OU (A ET non B) équivalente à A ?

d'avance merci pour vos réponses


Je recherche une solution basée sur des propriétés de base utilisée en logique
(distributivité de ET/OU et de OU/ET, etc . . .) et qui ne fasse pas appel à une table de vérité ou à des diagrammes ensemblistes (de Venn, ou de Caroll par exemple)

Il est vrai que j'aurai du être plus explicite dans mon message initial.


Merci de l'attention que vous voudrez bien porter à cette modification

[lapras]

Salut,
Pour le montrer formellement, tu peux faire une "table de vérité", i.e tester l'ensemble des valeurs possibles de ta propositions quand A et B vérient (dans {0,1}, 0 = faux, 1 = vrai)

[girdav]

Salut,
avec la distributivité il suffit de montrer que A et (non B ou B) est équivalent à A.

[jsr]

Merci,


un raisonnement du genre :

(A ET B) OU (A ET non B)
équ. A ET (B OU non B) [ application de la distributivité]
équ. A [(B OU non B) est toujours vraie]

suffit ?

_____________________________________________________________
(petit proverbe informatique (vu sur un forum) : "la théorie c'est quand rien ne marche mais tout le monde sait pourquoi ; la pratique c'est quand tout marche mais personne sait pourquoi ; nous on a réussi à concilier la théorie et la pratique : rien ne marche et personne ne sait pourquoi")

[Arnaud-29-31]

Bonjour,

(A et B) ou (A et non(B))
(A noter que les parenthèse sont inutiles puisque ET est prioritaire sur OU).

<=> A et (B ou non(B)) <=> A suffit amplement pourvu que les propriété des opérations ET/OU aient été vues.

[jsr]

Bonjour,

Votre professeur pourrait vouloir plus.

[Modif.] Peut-être vous pourriez employer De Morgan et modus ponens:

(A ET B) OU (A ET non B)
équ. A ET (B OU non B) [application de la distributivité]
équ. non ((non A) ET non (B OU non B)) [application de De Morgan]
équ. (non (B ET non B)) A [définition de implication logique]

...

1. (non (B ET non B)) A [de ci-dessus]
2. non (B ET non B) [tautologie]
3. donc A [application de modus ponens]

+ + +

Pardonnez mes erreurs de langue. Je suis un mathématicien Américain. J'apprends le français, et je dois pratiquer.

merci pour ta réponse. :++:

[jsr]

Bonjour,

(A et B) ou (A et non(B))
(A noter que les parenthèse sont inutiles puisque ET est prioritaire sur OU).

A et (B ou non(B)) A suffit amplement pourvu que les propriété des opérations ET/OU aient été vues.

merci pour ta réponse :++: