Calcul de proba (L3 MASS)

[dudule65390]

Bonjour à tous,
Voici deux questions, la première est un problème que je n'arrive pas à résoudre car je ne comprends trés bien la question et comment l'interpreter, la seconde est un problème que j'ai résolu mais j'aimerais avoir confirmation de mon résultat.

Première question: :doh:
Soit X une variable aléatoire discrète à valeur dans N*.
On lance un dé bien équilibré jusqu'à la premiere apparition de la face 6. On répète n fois cette meme expérience.
Donner la loi d ela variable aléatoire Xi égale au nombre de lancers nécessaires à l'obtention du premier 6 au cours l'expérience i.


Seconde question:
Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur l'intervalle ]0,1[.
Déterminer la loi de Y =(1/X^(1/n))-1
Je trouve f(y)=n(y+1)^(n-1)
Est-ce exact?

Merci de votre aide!!! :we:

[BQss]

Bonjour à tous,
Voici deux questions, la première est un problème que je n'arrive pas à résoudre car je ne comprends trés bien la question et comment l'interpreter, la seconde est un problème que j'ai résolu mais j'aimerais avoir confirmation de mon résultat.

Première question: :doh:
Soit X une variable aléatoire discrète à valeur dans N*.
On lance un dé bien équilibré jusqu'à la premiere apparition de la face 6. On répète n fois cette meme expérience.
Donner la loi de la variable aléatoire Xi égale au nombre de lancers nécessaires à l'obtention du premier 6 au cours l'expérience i.


Seconde question:
Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur l'intervalle ]0,1[.
Déterminer la loi de Y =(1/X^(1/n))-1
Je trouve f(y)=n(y+1)^(n-1)
Est-ce exact?

Merci de votre aide!!! :we:

1) premiere loi , c'est un temps d'arret d'un processus de bernoulli:
On pose Yn: le resultat du lancé n dans une quelquonque experience i.
Xi=(inf n>=0 tel que 1{Yn=6}=1)

P(Xi=k)=p*p*....*q=p^(k-1)q avec p+q=1 et q=1/6. C'est l aloi geometrique.
C'est a dire que tu as a k fois de suite un autre tirage que 6 puis finalement au lancé k un 6. C'est la loi du temps d'attente du premier 6.

Pour la deuxieme, il faut dire sur quel domaine cette densité est definie, d'habitude tu indiques ca en multipliant la densité pour une fonction indicatrice. Et aussi cette fonction n'est pas une densité de probabilité(un conseil si tu n'es pas sur, integre pour voir si l'integrale vaut 1 pour verifier que c'est bien une densité de probabilité). Pour n=1 par exemple f(y)=2(y+1), c'est a dire que ton integrale sur [0;+infini[ qui est l'espace image par la fonction Y vaut +infini, donc il y a un probleme.

il faut juste faire un changement de variable donc:
Precise bien que c'est un diffeomorphisme:
X-->(1/X^(1/n))-1 est un diffeomorphisme de ]0,1[ dans ]0;+infini[, on pose Y=(1/X^(1/n))-1 et X=1/(Y+1)^(n).
Donc la loi de Y c'est:
sachant que la loi de X a pour densité 1[0;1](x).
On a dY/dX=-1/ ( n*X^[(1/n)+1] ):
donc fy(y)= nx^[(1/n)+1) ) * 1[0;+infini[( y )

fy(y)= n/[(y+1)^(n)]^((1/n)+1) * 1[0;+infini[( y )
fy(y)= n/(y+1)^(1+n) * 1[0;+infini[( y )

Intuitivement tu vois que cela revient a etendre une corde. Plus tu etends la corde, plus la densité diminue, mais la masse reste la meme, c'est a dire que la probabilité totale reste la meme et vaut 1 evidemment.
Ici on a une variable qui se situe dans [0;1] et on crée une variable qui repartie les probabilité sur [0;+infini[ a partir de celle la.
Il en resulte que la densité de la nouvelle doit etre corrigée pour conserver la meme masse, en mecanique ca s'appellerait tout simplement principe de conservation de la masse.
Plus X est petite, plus Y est grande et donc plus la densité doit etre petite. Ainsi pour les grandes valeurs de Y tu vois que la densité est d'autant plus faible. Quand y-->+infini dans l'integrale tu vois que la densité tend vers 0, car pour representer un meme intervalle x d'origine, y est d'autant plus espacé que x est petite et ceci pour representer les memes masses que pour des intervalles de X ou X est proche de 1. Pour faire le rapprochement avec la mecanique a nouveau, ta corde est de plus en plus tendu en s'eloignant de 0.