Calcul points fixes isométrie

[tommheolig]

Bonjour,

Je n'arrive pas à répondre à cette question?
Soit la matrice:
1 0 0 0
-1 0 1 0
1 1 0 0
1 0 0 -1

Est -elle une isométrie? Calculer ses points fixes et la classifier.
J'ai calculé le déterminant : detA=1, la trace: trA=-1
A= 0 1 0
1 0 0
0 0 -1
Donc il me reste à savoir si c'est une symétrie axiale(si il y a des points fixes) ou une translation (s'il n'y en a pas). Mais je ne sais pas comment calculer les points fixes?

Merci de votre aide

[zygomatique]

salut

(a, b, c, d) base dans laquelle est écrit la matrice, et f cette transformation

f(a) = a - b + c + d
f(b) = c
f(c) = b
f(d) = -d

l'hyperplan <b, c, d> est invariant par f

et on a immédiatement f(b + c) = b + c donc u = b + c est fixe

si v = b + d et w = c - d alors f(v) = c - d = w et f(w) = b + d = v

regarder alors f dans la base (a, u, v, w) .... peut-être ...

[pascal16]

en testant certaines recettes, j'ai eut que A²=Id.
donc A n'est pas une translation.

la calculette me donne elle un ss ev de taille 2 pour une symétrie plane.

[tommheolig]

Merci pour les réponses,
Si on a trouvé u=b+c point fixe est-ce suffisant pour dire que c'est une symétrie?
(dans tous les cas avec A^2=Id on peut dire que c'est une symétrie)

[pascal16]

En y allant à la brutale, en calculant AX=X, avec X (x,y,z,t)^ (sans se tromper)

on a le système
x=2t
x+y-z=0
(x=x s'en va et deux autres équations sont équivalentes)
soit par exemple comme vecteurs générateurs : (2;-1;1;1) et (-2;3;1;-1)
c'est ce que donne comme "eigenvect" attachés à la valeur 1 la calculatrice.

[zygomatique]

Merci pour les réponses,
Si on a trouvé u=b+c point fixe est-ce suffisant pour dire que c'est une symétrie?
(dans tous les cas avec A^2=Id on peut dire que c'est une symétrie)

un peu de sérieux !!!

penses-tu que la connaissance de l'image d'un seul vecteur suffit ?