Calcul d'un PGCD
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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euler21
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par euler21 » 12 Mar 2012, 17:24
Bonjour
dans un exercice on s'est donné un polynôme P de Q[X] unitaire, et
le ppcm des dénominateurs des coefficients de P.
Si je pose
le pgcd des coefficients du polynôme
(qui appartient à Z[X]). Est ce qu'on a
??
Merci pour vos réponses
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Judoboy
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par Judoboy » 12 Mar 2012, 18:11
Ca doit pouvoir se faire par récurrence sur le degré de P, mais j'aime bien par l'absurde. Que peut-on dire si on suppose que c(alpha*P) est différent de 1 ?
Au fait ça ne marche que si tu as bien pris des fractions irréductibles pour ton écriture de P(X).
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leon1789
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par leon1789 » 12 Mar 2012, 18:20
si on prend P = 2/3 X + 2/5 ??
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euler21
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par euler21 » 12 Mar 2012, 18:22
leon1789 a écrit:si on prend P = 2/3 X + 2/5 ??
On ne peut prendre ce cas car P doit être unitaire
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leon1789
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par leon1789 » 12 Mar 2012, 18:48
euler21 a écrit:On ne peut prendre ce cas car P doit être unitaire
argh, pas vu... trop vite lu.
C'est ok alors !
avec
(avec un 1 de
:lol3: )
Une idée (sans récurrence, sans absurde) :
considérer un diviseur d commun à tous les numérateurs
Alors ce diviseur d est premier avec tous les
...
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euler21
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par euler21 » 12 Mar 2012, 19:05
leon1789 a écrit:argh, pas vu... trop vite lu.
C'est ok alors !
avec
(avec un 1 de
:lol3: )
Une idée (sans récurrence, sans absurde) :
considérer un diviseur d commun à tous les numérateurs
Alors ce diviseur d est premier avec tous les
...
je ne pense pas que c'est suffisant, d'autant qu'on multiplie tous les
par
...
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euler21
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par euler21 » 12 Mar 2012, 19:18
Personnellement je pense que je vais utiliser une méthode par l'asurde:
je suppose que
>1 et donc il admet au moins un diviseur premier noté
Ce diviseur premier divise
(P est unitaire ...) et divise aussi
.
En remarquant que
est un entier
On a nécessairement p divise
ou p divise
.
Si p divise
alors p est premier avec
. Si on suppose aussi que p est premier avec
alors p sera premier avec
ce qui est absurde.
Ainsi on a nécessairement dans tous les cas p divise
...
Je pense que ceci permet de conclure en utilisant la décomposition en facteurs premiers de
Edit: je m'étais trompé dans la notation maintenant je pense que c'est plus correct
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Judoboy
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par Judoboy » 12 Mar 2012, 19:25
euler21 a écrit:Personnellement je pense que je vais utiliser une méthode par l'asurde:
je suppose que
>1 et donc il admet au moins un diviseur premier noté
Ce diviseur premier divise
(P est unitaire ...) et divise aussi
.
Ah bon pourquoi ? Pi/Qi n'a aucune raison d'être entier...
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ffpower
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par ffpower » 12 Mar 2012, 19:29
Je pense qu'il voulait plutôt prendre p un diviseur du pgcd
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euler21
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par euler21 » 13 Mar 2012, 10:13
ffpower a écrit:Je pense qu'il voulait plutôt prendre p un diviseur du pgcd
Oui c'est ça je viens de modifier ma réponse, merci pour la remarque :lol3:
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Judoboy
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par Judoboy » 13 Mar 2012, 11:37
Ok , pour conclure il te reste juste à voir que si p divise alpha/Qi, tous les Qi divisent alpha/p, je te laisse trouver la contradiction :)
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Maxmau
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par Maxmau » 13 Mar 2012, 12:04
Judoboy a écrit:Ok , pour conclure il te reste juste à voir que si p divise alpha/Qi, tous les Qi divisent alpha/p, je te laisse trouver la contradiction
Bj autre méthode
je note Ai/Bi le coeff de X^i (i < n) ds le polynôme P
M le ppcm des Bi , M = Bi Mi
Ai et Bi premiers entre eux d'où Bezout : AiUi + BiVi = 1 et (AiMi)Ui + MVi = Mi
tout diviseur commun à M et aux AiMi divise donc Mi
les Mi sont premiers entre eux (th d'arithmétique)
donc M et les AiMi sont premiers entre eux
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euler21
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par euler21 » 13 Mar 2012, 12:47
Judoboy a écrit:Ok , pour conclure il te reste juste à voir que si p divise alpha/Qi, tous les Qi divisent alpha/p, je te laisse trouver la contradiction
Pour la contradiction j'ai opté plutôt pour la décomposition de
en produit de facteurs premiers: p étant un diviseur premier, alors p est nécessairement l'un de ces facteurs
. Or
étant le ppcm des
, on peut toujours trouver un indice
pour que
ne contient pas dans sa décomposition le nombre premier
ainsi p n'est égal à aucun facteur premier de la décomposition de
contradiction
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